含参数不等式的解法探讨.doc

【标题】?含参数不等式的解法探讨 【作者】黎蜜 【关键词】不等式??参数??解法 【指导老师】简大权 【专业】数学与应用数学 【正文】1.引言在现实世界中量与量的相等是相对的，不等是绝对的，形如:?,这种用来表示量与量的大小关系，以不等号连结两个解析式所成的式子就是不等式。在现实世界中不等式几乎是无处不在，因此，不等式是研究问题的重要工具，也是培养推理论证能力的重要内容。在中学与高等数学中都占有极其重要的地位。对中学数学而言，它渗透到中学数学的各个部分，尤其和函数、数列、复数、三角等都有着非常密切的联系；对高等数学而言，它在各基础学科和应用学科都有着非常广泛的应用。对不等式的研究主要分为三个方面：⒈不等式的证明⒉不等式的解法⒊不等式的应用。不等式的解法作为其中的一部分，它的地位非常重要。因此，在中学数学的教学中不等式解法的教学不容忽视。在教学过程中，大多数对单纯的不等式求解内容比较容易理解和掌握，但在对含参数的不等式求解时，由于不等式中含了参数，以及含参数不等式的特点——随着参数的变化解也随着变化，同时解法也随着变化，由于这样的不确定性使得在求解时感到很困难，只要一碰到此类问题就感到束手无策，甚至是望而生畏；同时不等式作为数学思想的载体，突出体现了等价转化、函数和方程、分类讨论、数形结合等数学思想，含参数不等式的求解过程更是这些数学思想的结合，所以，含参数的不等式历年来都是高考的重点和难点，经常在知识的交汇点进行命题，以此来考察学生综合掌握知识的程度和灵活运用的能力。含参数的不等式?或?(其中?为参数),一般分为两类：一类是对参数?进行讨论，求变量x的范围；一类是?或?对某个?恒成立或者有解，求参数?的范围.在求解这两类含参数不等式的问题时，不仅需要掌握“分类讨论、分离变量、数形结合、变更主元”等重要的数学思想方法，而且需要具有选择求解的最佳“程序”、最优方法的综合能力?。那怎样解含参数的不等式呢？本文将做肤浅的探讨。2.含参数不等式的几种解法探讨2.1运用分类讨论法解含参不等式在解答问题时，由于所研究的对象的全体不宜用同一方法处理常常要进行分类讨论。分类讨论法是解含参不等式的常用方法也是主要的方法，掌握好分类讨论法是解含参不等式的关键。但是在解题时往往不清楚为什么分类，怎样分类。因此在讨论时，首先要弄清楚研究对象的取值范围，分类就是在这个特定的环境中进行的，当然确定好分类的标准是讨论的关键。2.1.1按定义进行讨论对于不同类型的不等式由于其定义不同应根据参数所在的位置，在有意义的范围内讨论?：（1）一元一次不等式?或?其中?为参数.分类原则：讨论一次项系数?,即三种情况：??.（2）一元二次不等式?，其中?为参数.分类原则：分三个层次进行讨论:①讨论二次项系数的符号，若?时，此时一元二次不等式变为一元一次不等式，按一元一次不等式的分类原则进行讨论.②讨论判别式?以决定对应的不等式的方程有无实根，从而确定不等式的解集类型.③若不等式对应的方程有实根，讨论两根的大小，以确定解集.（3）指数、对数不等式?;?.分类原则：按?或?讨论.（4）绝对值不等式：??(或?),其中b为参数.分类原则：按?讨论.（5）无理不等式：??(或?).分类原则:在?的前提下，按?或?讨论.（6）分式不等式：?≥0（或?≤0）,其中?为参数.分类原则:注意分母不为0，然后变形为?或?，再转化为以上类型讨论.例1：解关于x的不等式?.解：此不等式属于?型，等价转化得：? 或????????解得?或?,因此得?，按对数的定义和性质进行分类讨论：当?时，?;当?时，?.例2：解关于?的不等式?，分析：这是一个关于?的分式不等式，通过同解变形可化为不等式?，在?的条件下，又可转化为关于?的一元二次不等式?.????由于关于?的一元二次不等式?的二次项系数含参数?的表达式?，因此在?条件下分为?与?两个类别讨论；又由于二次三项式?的两个实根，一个为2，另一个为含参数?的表达式?，所以解此不等式要先分为两个层次进行讨论，而在每一个层次中又要分类进行讨论才能得到正确的解法。解：原不等式可化为??,将其化为整式型不等式为：?，当?时，有?，若?,?即??时,解得?;若?，即?时解集为?; 若?,?即?时，解为?.当?时，有?，此时?.所以原不等式解为?或?.故?当?时，解为?;???当?时，解为?;???当?为?;???当?时，解为?或?.评注：通过以上例题我们不难发现，只要掌握好了七类基本不等式的参数讨论原则，就可以解决其它大多数含参不等式.2.1.2结合图形讨论例3：当?时,?恒成立，求实数?的取值范围.分析：此题属于一元二次不等式，