几类常见不等式的证明及技巧.doc

【标题】?几类常见不等式的证明及技巧 【作者】余 洋 【关键词】?等价关系????不等式????多项式??绝对值 【指导老师】邓 淙 【专业】数学与应用数学 【正文】1.?引言数量上的不等关系要比相等关系更广泛的的存在于现实世界中，但是人民对不等式的认识还是一个不长的时期，直到17世纪以后，不等式理论才逐渐发展起来，成为现代数学基础理论的一个重要组成部分。而不等式的证明却是现在中学生的难点，不等式的证明方法和技巧很多，本文主要通过证明不等式中几类较复杂的不等式，让大家能更好的掌握不等式的证明方法。2．关于含有?或n次多项式的不等式?对于含有?的不等式或含有N次的不等式一般的同学都无从下手，虽然他出现了N次或含有根号，但是我们都可以应用常见的一些不等式的性质和基本不等式来解决问题的。但是，在证明过程中，又要注意使用一些特殊的技巧例1:??证明：??设n，m为正整数，m? n??则：?当仅当n=m时等号成立：证：?对任意的正整数n?，有??????????????????????????????????????????显然有：??? ?????????? 当n=m时，原不等式成立。观察关于含有n次多项式的不等式，大体上可以划分为两大类：一类虽然出现n次方或n项式，但只要应用重要不等式????????????（1）即可证；另一类则需要应用重要不等式????（2）来证例2：?求证：无论整数A? B? C是成等差数列还是等比数列，当n是大于2的整数时，恒有：?????证：??先证正数a? b? c?成等差数列，（在相反情况下，也同样可证），c-b=b-a=d0???于是：在等差数列情况下，?成立。若a? b? c??是等比数列，即??，由于 a? b? c大于零且不相等，应用公式?得：??????????????????????可见在等比数列情况下，此结论亦成立,所以以上结论成立.例3:?已知:?? x?是不等1的正数，n是正整数，?????求证：?证:??由公式（1）可得：??????????????? 1+ x2?0??????????????????(1)?又???????????????????????(2)上述二式相乘得：????????即：原不等式成立。技巧：在不等式的一端，“首尾对应两两相加减”，再应用不等式基本公式。证明一些不等式，这种方法是特别有效的，他不但应用的技巧简单，而应用的理论依据是一些基本的不等式，一般的人都易掌握和应用这类方法，但是在证明时要认真分析不等式，应用合适的方法例4:??设:? x??????试证：???证：应用公式：??????????????????由同向不等式相加得：??????????????????其中有?(2n+1)?个2????????技巧：原不等式右端首尾对应两两相加：????应用公式：????例5:??试证：??????证：由基本不等式????得：??????? ??把上面的n式子相乘得到：???????????????????????????例6:??设:? m? n是不同时为1的正数。试证：????????????????(m+1)(m+2)(m+3)??分析：本题与上题是同类的。注意观察本题的结构，发现原不等式左端共（2n-1）个因式，且有明显规律，所以我们就想到了在式子左边应用首尾项结合：证：?????????????同理：????????????????即：???????????????例7:??当n?为正整数时，求证：????????????????????????????证：????????????????????????????????????????????????同理:??????????????其中有2n?项相加，左端最中间一项为：???????????这部分是与n有关的多项式不等式，这类含有?和N次多项式的不等式的证明；我们基本都用了公式（2）来加以证明例8:??若n1???求证：???????????????????!????证：???????? ? n!=????????????????即：??????????例9：??当n1?时???求证：?证：????????????????????????????例10： n为自然数，求证：??????????????????????(n1)证：?????????????　又　????3.含有绝对值的不等式含有绝对值的不等式也是中学中常见的重要的不等式，其证明也有一定的难度，为了证明这类不等式，首先要弄清绝对值的含义及