毕业论文:利用微积分证明不等式.doc

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PAGE PAGE 1 利用微积分证明不等式 摘要 对于不等式证明的方法有很多,利用微积分的知识来证明不失为一个简单易 掌握的方法,本文应用微积分的有关概念、定理、典型实例,对不等式证明的微积 分方法进行了探究与归纳。 关键词 不等式;导数;定积分 引言 不等式中蕴藏着丰富的数学思想和方法.例如,数形结合的思想,转化的思想,类比的思想,分类讨论思想,建模的思想.不等式同时也是高中知识的一个重要的章节,高中时就学习了很多基本的不等式证明方法.例如,求导证明,利用简单的微积分证明.不等式的证明在高等数学中占有很重要的地位,是教学的一个重点,也是学习的一个难点,本文应用微积分的有关概念,定理,结合典型实例,对不等式证明的微积分方法进行了探究与归纳. 1.利用微分中值定理(拉格朗日中值定理)证明不等式 定理1 若函数f满足如下条件: (ⅰ)在闭区间上连续, (ⅱ) 在开区间内可导, 则在内至少存在一点,使得 这里没有给出的确切位置,而对于不等式而言,也不必精确.因此可用中值定理证,这时的关键是选择及区间. 例1.1 若,试证. 证 设. 当时,在上满足拉格朗日中值定理, 所以 , 而 , . , 于是. 例1.2 若x0,试证:. 证 设 , 因在上满足拉格朗日中值定理, . 又, . 即. 利用微分中值定理证明不等式时,要抓住定理的核心,在满足定理的两个条件下,主要是利用“存在一点”,即来确定不等式关系,关键是根据对照要证的不等式来确定函数和区间. 2.利用函数的单调性证明不等式 函数的单调性,在微积分中用导数来判定. 定理2 设函数在区间上可导,如果对任意的,恒有(或)则f(x)在内单调增加(或单调减少). 例2.1 证明不等式,其中. 证 (i)设. 当x0时,. 单调减少. . (ii) 当, . . ,. 例2.2 证明:. 证 设. . (无法判断的符号) . , , , , 即. 利用函数的单调性证明不等式时,首先要根据不等式构造函数,这是解题的关键.此时,只须证明或,而要证明或,首先求,判断还是再使用定理. 3.利用泰勒公式证明不等式 一般涉及到高阶导数时可用泰勒公式(或麦克劳林公式). 定理3(泰勒定理) 若函数f满足如下条件: (i)在开区间上函数f存在直到n阶导数, (ii) 在闭区间上存在 f的n+1阶导数, 则对任何,至少存在一点,使得 例3.1 若在内,则对任意几个点,试证有不等式. 证 将介在展开,, 有. , (1) 对(1)式中分别取,得到 =1,2,…n. 将上面的n个不等式两边分别相加得 , 即. 例3.2 设-1,证明(i)在,; (ii)在a0或a1时,. 证 设, . , 则的麦克劳林展式为 介于0与之间. 即 . (2) (i)时,(2)式第三项非正. . (ii) 在a0或a1时, (2)式第三项非负. 泰勒定理的适用范围是不等式中含有的函数易求出它的泰勒展开式,从而利用它的局部展开式证明不等式. 4.利用函数的凹凸性证明不等式 由定义及判别法有:在某区间上凹(或下凹) ,也即 (或), 由此可证明一些不等式,特别是含两个或两个以上变元的. 例4.1 已知,且. 试证:. 证 令, ,. . , , . . 例4.2 证明: 证 设 , ,即. 5.利用积分知识证明不等式 性质1 设在区间上都是可积函数,如果在区间上满足,则有. 求证. 证 , . , 根据性质1, . 即. 使用性质1证明不等式时,要将不等式两端的式子表示成同一区间上两个函数的定积分,这时,只须比较这两个函数在区间上的大小,在利用定积分的性质. 性质2 如果在上的最大值和最小值分别为和, 则. 例5.2 已知在内连续,,设在区间内的最大值和最小值分别为,.试证:. 证 当时,由性质2得 . . 又 . . 即. 结语: 高等数学中证明不等式的方法很多,利用微积分证明有时候可以将复杂繁冗的问题变的简单明了.本文针对微积分学中证明不等式的5种方法,进行了初步的思考与探究,并对运用某种方法给出了一定的结论.其实,对于一个不等式来说,可以用多种方法予以证明,对于一个学习数学的人来说,能够找到解决问题的最简单的方法就是好方法,而利用微积分往往能让问题变的简单起来. 参考文献 [1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,1991.10. [

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