毕业论文：正交矩阵及其应用.doc

PAGE 正交矩阵及其应用 The orthogonal matrix and its applicalion 专 业: 数学与应用数学 作　　者: 指导老师: 学校 二○一 PAGE I 摘 要 正交矩阵是数学研究中的一类重要的工具, 它的应用非常广泛. 本文从以下主要例举了正交矩阵的三大应用: 正交矩阵在线性代数中的应用、正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用、正交矩阵在物理中的应用. 关键词: 矩阵; 正交矩阵; 标准正交基; 集合; 特征根; 行列式 Abstract Orthogonal matrix is the mathematical study of an important class of tools, it is widely used. This article cites the following main four orthogonal matrix applications :orthogonal matrix in linear algebra, Orthogonal matrix topology and Modem Algebra, orthogonal matrix the application of physics. Keywords: matrix; orthogonal matrix; orthonormal basis; a collection of eigenvalues; determinant 目 录 TOC \o 1-3 \h \z \u HYPERLINK \l _Toc229814748 摘 要 PAGEREF _Toc229814748 \h I HYPERLINK \l _Toc229814749 Abstract II HYPERLINK \l _Toc229814750 0 引言 PAGEREF _Toc229814750 \h 1 HYPERLINK \l _Toc229814751 1 正交矩阵的定义及其简单性质 PAGEREF _Toc229814751 \h 1 1.1 正交矩阵的定义及其判定 1 1.2 正交矩阵的性质 1 2 正交矩阵的应用 2 2.1 正交矩阵在线性代数中的应用 2 2.2 正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用 8 2.3 正交矩阵在物理中的作用 11 参考文献 HYPERLINK \l _Toc229814752 15 PAGE 第 PAGE \* MERGEFORMAT 14页,共15页 0 引言 正交矩阵是一类重要的实方阵, 由于它的一些特殊性质, 使得它在不同的领域都有着广泛的应用, 也推动了其它学科的发展. 本文从正交矩阵的定义以及其性质入手, 来探讨它的四大应用即: 正交矩阵在线性代数中的应用、正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用、正交矩阵在物理中的应用. 1 正交矩阵的定义及其简单性质 1.1 正交矩阵的的定义及其判定 定义1.1[1] 阶实矩阵, 若满足, 则称为正交矩阵. 判定1 为正交矩阵. 判定2 为正交矩阵. 判定3 为正交矩阵. 1.2 正交矩阵的性质 设为正交矩阵, 它有如下性质: 性质1[5] , 存在, 并且也为正交矩阵; 性质2[5] ,也是正交矩阵; 当时, , 即; 当时. , 即. 性质3[5] 若也是正交矩阵, 则都为正交矩阵. 证明 性质1 显然, 所以也是正交矩阵. 性质2 , 显然为正交矩阵. 由, 当时, , 即; 当时, , 即; 所以为正交矩阵. 性质3 由可知 , 故为正交矩阵. 由性质1, 性质2推知均为正交矩阵. 正交矩阵的性质主要有以上几点, 还有例如它的特征值的模为1, 且属于不同特征值的特征向量相互正交; 如果是它的特征值, 那么也是它的特征值, 另外正交矩阵可以对角化, 即存在复可逆矩阵, 使 其中为的全部特征值, 即. 这些性质这里就不再证明了. 2 正交矩阵的应用 2.1 正交矩阵在线性代数中的应用 在正交矩阵中,有一类初等旋转矩阵,我们也称它为Givens矩阵. 这里, 我们将利用正交矩阵可以表示成若干初等旋转矩阵的乘积, 给出化欧空间的一组基为标准正交基的另一种方法. 设向量 , 令,, 则称阶矩阵 i列 j列 为初等旋转矩阵. 初等旋转矩阵, 是由向量的第两个元素定义的, 与单位矩阵只在第行和第列相应的四个元素上有差别. 设是由向量定义的