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平面图形几何性质(Geometrical properties of plane graph) 概述 　这些与构件横截面的形状、尺寸有关的几何量统称为平向图形的几何性质。 拉压正应力： 扭转切应力： 弯曲正应力： ●意义 F (a)矩形钢板弯曲 (b)槽形钢板弯曲 F 截 面 设 计 [?]=60MPa 空心(? =0.9) 实心 3.2 一 静矩和形心(Statical Moment and Centroid) 定义：y·dA和z·dA分别称为该微面积对z轴和y轴的静矩 A dA O y z z y 性质： ●静矩是对一定的轴而言的，同一截面对不同的轴的静矩值是不同的； ●静矩值可正、可负，也可能为零； 什么情况下为零？ ●静矩的单位为：m3。 重心坐标的一般公式： 均质物体的重心坐标： y z O x Ai C G Gi yi yC 形心 C A O y z zC yC 由此可见：如果z(y)轴通过截面形心，即：yC=0(zC=0)，则Sz=0(Sy=0 )。即截面对通过其形心的轴的静矩等于零，反之亦然。 式中：Ai、yi、zi分别表示第i个简单图形的面积和形心坐标。 对组合截面： O y z C1 C2 C3 C dA z 例: 1 求图示平面图形的形心C； 2 求阴影部分（Ⅰ）对形心轴的静矩； 3 求图中形心轴之上部分（Ⅱ）对形心轴的静矩，它们之间有什么关系？ 严格绝对值相等! Ⅱ Ⅰ z0 y C C1 z 例1 求图示T形截面的形心位置。 解：取图示的坐标系，因图形关于y轴对称，所以形心必在y轴上，即zC=0；只需求yC值。 60 20 20 60 yC C z 0 Ⅱ Ⅰ O z y 二 惯性矩(Moment of inertia)和惯性积 (Product of inertia) 定义：y2dA和z2dA分别称为该微面积对z轴和y轴的惯性矩 由前知：极惯性矩 即：截面对任意一对相互垂直轴的惯性矩之和等于截面对该二轴交点的极惯性矩。 ●惯性矩 ? A dA O y z z y 量纲：L ●惯性半径(Radius of gyration) 单位：m或mm 定义：yzdA称为该微面积对z轴和y轴的惯性积 ●惯性积 ●性质： (1)惯性矩、惯性积是对轴而言的，同一截面对不同的轴的数值是不同的；极惯性矩是对点（称为极点）而言的，同一截面对不同点的极惯性矩值也不同。 (2)惯性矩的值永为正；惯性积则为代数量，可正可负。它们的常用单位都是m4 。 A dA O y z z y 例：试求图示矩形对y轴、z轴的惯性矩Iz、Iy，惯性积Iyz及对坐标原点的极惯性矩Ip 。 dA dA dA O z y h b z y y dy z dz 例：试求图示矩形对y轴、z轴的惯性矩Iz、Iy，惯性积Iyz及对坐标原点的极惯性矩Ip 。 O z y h b dA dA dA z y y dy z dz ● 组合截面惯性矩的计算 C z A A1 A2 y z1 z2 C1 C2 ? 同一平面图形对两根平行轴的惯性矩之间关系如何? 查表→ 三 平行移轴公式(Formula of Parallel axis ) A z y O y1 z1 C b a dA y z1 z y1 形心：C 形心轴 惯性矩的平行移轴公式 适用条件： 结论：截面对通过其形心的轴的惯性矩是对所有平行轴的惯性矩中的最小者。 惯性积的平行移轴公式： C z A A1 A2 y z1 z2 C1 C2 同一平面图形对两根相交轴的惯性矩之间关系如何? C1 C2 C z z1 z2 z2 显然： y O z y1 z1 四 惯性矩和惯性积的转轴公式（Formula of Rotation of Axes) H B G dA D E F C 五 主轴和主惯性矩 (Principal Axes and Principal Moment of Inertia) 主轴： A O 　　　 通过平面图形所在平面上任一点，总能找到一对相互垂直的轴，使得平面图形对这一对轴的惯性积为零，这一对轴称为主轴。 y2 z2 y z y1 z1 形心主轴 主惯性矩 形心主惯性矩 O y1 z1 C y2 z2 平面图形对主轴的惯性矩 通过平面图形形心的主轴 平面图形对形心主轴的惯性矩 a a z y 通过形心的任意一对轴都是主轴？ z1 y1 ? ? 通过形心的任意一对轴都是主轴？ z y z1 y1 ? ?