扭转(孙训芳).ppt

●扭转试验 O ? Mx O ? l ●剪切胡克定律.avi 剪切比例极限 剪切屈服极限 ●低碳钢的? -? 曲线： O a b ? ? ?s ?p 剪切强度极限 ●铸铁的? -?曲线： O ? ? ?b ●E、?、G的关系 薄壁圆管的扭转 t R Mx ☆误差分析 ? d d0=2r0 D 以?max为基准 ?=5%??=4.52% 8　开口和闭口薄壁截面杆自由扭转时的应力和变形 8.1　开口薄壁截面杆(thin-walled bar with open cross section) 　对于开口薄壁截面杆，根据杆在自由扭转时的变形情况，可作如下假定：杆扭转后，横截面周线虽然在杆表面上变成曲线，但在其变形前的平面内的投影形状仍保持不变。因此，当杆件扭转时，截面的各组成部分的单位长度扭转角与整个横截面的单位长度扭转角?相同，故变形相容条件为： (i=1,2,…,n) 　式中?i是截面第i个组成部分的单位长度扭转角。得补充方程： (i=1,2,…,n) 　式中Iti、Ti分别是截面第i个组成部分的相当极惯性矩和承受的扭矩，It、T则是整个截面的相当极惯性矩和承受的扭矩 此外，由静力学关系，有 联立求解，得 截面的各组成部分可看作是狭长矩形截面 式中：hi、?i——第i个狭长矩形的边长 任一狭长矩形截面上的最大切应力 由上式可知，整个横截面上的最大切应力发生在厚度最大的狭长矩形的长边中点处，其值为 对于中心线为曲线的开口薄壁截面杆，计算时可展开截面，将其作为一狭长矩形截面来处理。 8.2 闭口薄壁截面杆 图 箱形和环形薄壁截面 　在工程中还有另外一类薄壁截面杆，其横截面的壁厚中线是一条封闭的曲线或折线，称为闭口薄壁截面杆(thin-walled bar with closed cross section)，图示的箱形和环形截面就是闭口薄壁截面。例如箱形截面梁在桥梁工程中就得到了广泛的使用。 现在分析如图3.25所示的壁厚可变的闭口薄壁截面杆，其两端作用着一对扭转外力偶。因为壁厚很薄，故可假设切应力沿壁厚均匀分布，且其方向与壁厚的中线相切，如图3.26(a)所示。 闭口薄壁截面杆的自由扭转 x M e M e |? 用相距dx的两个横截面以及两个与壁厚中线相交的纵截面从杆壁中切取单元体abcd，设横截面上b和c两点处的切应力分别为?1和?2，而壁厚则分别为?1和?2，如图3.26(b)所示。根据切应力互等定理可知，在上、下两纵截面上的切应力分别为?1和?2 。由平衡方程∑Fx=0可得 即 因为两纵截面是任意选取的，故由上式可知，横截面上任意位置处的切应力与该处壁厚的乘积为一常数，即 式中，r是矩心O到微元ds的垂直距离。由图3.26(c)可知，rds为图中阴影三角形面积的两倍，故其沿壁厚中线长度s的积分等于该中线所围面积A的两倍。于是可得 ??称为剪力流。从上式可以看出，壁厚可变的闭口薄壁截面杆在自由扭转时，横截面上的切应力随着壁厚的不同而发生改变，壁厚最小处的切应力最大。 现在来推导切应力?的计算公式。沿壁厚中线取微段弧长ds，在该段上的内力元素为??ds，其方向与中线相切，如图3.26(c)所示。由静力学关系可知，横截面上的切应力对横截面内任一点O的力矩之和等于横截面上的扭矩Mx，即 可改写为 上式即为闭口薄壁截面杆在自由扭转时横截面上任一点处切应力的计算公式。从上面已经知道，壁厚最小处的切应力最大，故可得横截面上的最大切应力为 (a) (b) (c) 图3.26 闭口薄壁截面杆扭转时的切应力分布 (a) 切应力沿壁厚的分布；(b) 微元段上切应力分析；(c) 切应力分析 r O s x a b d b |ó T x d d d c a d c |ó |? |ó |? 1 1 2 2 闭口薄壁截面杆的单位长度扭转角可根据能量原理来求解：应变能在数值上等于外力所做的功(应变能的讨论参阅第11章)，即 将式(3.35)代入上式，即可求得闭口薄壁截面杆的单位长度扭转角 当壁厚相等(即为常数)时，则有 式中，s为壁厚中线的长度。 【例3.11】 试比较开口薄壁圆管与闭口薄壁圆管的最大切应力和单位长度扭转角，设二者的材料、长度、直径d、壁厚?以及承受的扭矩T都相同。开口薄壁圆管是在闭口薄壁圆管上沿纵向切开一细缝而得到的。 解：由前述可知，对于开口薄壁圆管，计算时可展开截面，将其作为一狭长矩形截面来处理。由式(3.22)可知 将上两式代入式(3.30a)和式(3.30b)，有 对于闭口薄壁圆管，由式(3.36)和式(3.38)，有