_第十一章全等三角形综合复习教师9.17.docVIP

第十一章 全等三角形综合复习（9.17） 一、学习目标： 1. 复习全等形与全等三角形的概念、全等三角形的判定定理，以及角平分线的作图方法和角平分线的性质等知识，建立知识系统； 2. 使学生总结寻找全等三角形及其全等条件的方法、归纳常见辅助线的作法，使学生掌握分析问题的方法，提升解题能力。 二、重点、难点： 重点：难点：全等三角形是初中几何的重要内容，也是数学中最基础的知识，是研究平面几何的重要工具。近几年的中考数学试题，经常将全等与其他知识结合在一起，考查学生综合运用数学知识解决问题的能力，形式多种多样为全等这一传统的话题增添了新颖的味道。1. 全等三角形的概念及性质； 2. 三角形全等的判定角平分线性质及判定 切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。 例1. 如图，四点共线，，，，。求证：。 思路分析：从结论入手，全等条件只有；由两边同时减去得到，又得到一个全等条件。还缺少一个全等条件，可以是，也可以是。 由条件，可得，再加上，，可以证明，从而得到。 解答过程：， 在与中 ∴(HL) ，即 在与中 (SAS) 解题后的思考：本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。 小结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路。 知识点二：构造全等三角形 例2. 如图，在中，是∠ABC的平分线，，垂足为。求证：。 思路分析：直接证明比较困难，我们可以间接证明，即找到，证明且。也可以看成将“转移”到。 那么在哪里呢？角的对称性提示我们将延长交于，则构造了△FBD，可以通过证明三角形全等来证明∠2=∠DFB交于 在与中 (ASA) 又 。 解题后的思考：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。 例3. 如图，在中，，。为延长线上一点，点在上，，连接和。求证：。 思路分析：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。以线段为边的绕点顺时针旋转到的位置，而线段正好是的边，故只要证明它们全等即可。 解答过程：，为延长线上一点 在与中 (SAS) 。 解题后的思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。 小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。 知识点三：常见辅助线的作法 1. 连接四边形的对角线 例4. 如图，//，//，求证：。 思路分析：关于四边形我们知之甚少，通过连接四边形的对角线，可以把原问题转化为全等三角形的问题。 解答过程：连接 //，// ， 在与中 (ASA) 。 解题后的思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。 2. 作垂线，利用角平分线的知识 例5. 如图，分别是外角和的平分线，它们交于点。求证：为的平分线。 思路分析：要证明“为的平分线”，可以利用点到的距离相等来证明，故应过点向作垂线；另一方面，为了利用已知条件“分别是和的平分线”，也需要作出点到两外角两边的距离。 解答过程：过作于，于，于 平分，于，于 平分，于，于 ， ，且于，于 为的平分线。 解题后的思考：题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。 3. 倍长中线 在三角形中，常采用延长中线为原来的2倍，构造全等三角形来解题。 例6. 如图，是的边上的点，且，，是的中线。求证：。 思路分析：要证明“”，不妨构造出一条等于的线段，然后证其等于。因此，延长至，使。 解答过程：延长至点，使，连接 在与中 (SAS) ， 又 ， 在与中 (SAS) 又 。 解题后的思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。 4. “截长补短”构造全等三角形 例7. 如图，在中，，，为上任意一点。求证：。 思路分析：欲证，不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。由于结论中是差，故用两边之差小于第三边来证明，从而想到构造线段。而构造可以采用“截长”和“补短”两种方法。 解答过程：法一： 在上截取，连接 在与中 (SAS) 在中， ，即AB－ACPB－PC。 法二： 延长至，使，连接 在与中 (SAS) 在中， 。 解题后的思考：当已知或求证中涉及线段的和或差时，一般采用“截长补短”法。具体作法是：在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段，再设法证明较长线段的剩