分方法基本上可概分为分部积分法与代换积分法两种分部.doc

積 分方法基本上可概分為分部積分法與代換積分法兩種。分部積分法將於9.2節裡介紹，而簡單的代換積分法已於5.3節探討過。於本章裡首先將就基本的積分公式與代換積分法做一個簡單的複習，同時也介紹了Maple的幾個基本的積分指令，來為本章的學習暖個身。 9.1 基本積分公式與代換積分法的複習 9-2 9.2 分部積分法 9-9 9.3 三角函數的乘冪積分 9-22 9.4 三角代換積分法 9-34 9.5 含二次項的積分 9-42 9.6 有理函數的積分法 9-46 9.7 技巧性的代換積分法 9-56 9.8 數值積分 9-62 9.1基本積分公式與代換積分法的複習 代換積分法(method of substitution)係利用變數變換，將較不易積分的數學式代換成較易積分的式子。通常代換積分法必須利用一些現成的積分公式或積分表來完成，以下列出了常用的積分公式： 乘冪與指數 1. 2. 3. 4. 三角函數 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 基本的代數函數 13. 14. 15. 【例題9.1.1】 試求 【解】 設，則，因此 (1) (利用積分公式14) (2) (3) Maple的student程式庫裡所提供的changevar指令可以用來做變數變換積分，下列的步驟模擬了本例題中，整個手算的過程。 載入sutdent程式庫。 with(student): 定義變數expr為積分式。 expr:=Int(exp(x)/(16+9* exp(2*x)),x); 設來做變數變換，可得右式。 changevar(u=3*exp(x),expr,u); 化簡上式，可將常數因子提出。讀者可注意到右式的結果與(1)式相同。 simplify(%); 利用value指令，可求得積分式的值。注意右式的結果與(2)式相同。 value(%); 將代入上式，可得積分的結果，此結果與(3)式相同。 subs(u=3*exp(x),%); 以value指令可直接求得expr的積分值，其結果與上式相同，故驗證了變數變換積分法的正確性。 expr=value(expr); ( 【例題9.1.2】 試求 【解】 設，則，因此 讀者也可以模仿例題8.1.1的步驟，用Maple來一步步的解出的積分值。有趣的是，本題係以來做代換，若以來做代換，結果是否一樣會變成更容易積分的數學式? Maple的changevar運算可以很容易的回答這個問題。 定義expr=。 expr:=Int(tan(x),x); 設來做變數變換，可得右式。因容易積分，故對手算而言，為一適當的代換式。 changevar(u=cos(x),expr,u); 如果設來做變數變換，得到右式。因用紙筆並不好積分，故於此例中，並不是一個適當的代換式。 changevar(u=sin(x),expr,u); 雖然並不易用紙筆來積分，但對Maple而言就沒有這個差別了！這個積分依然可用Maple來計算： 計算，可得右式。 value(%); 將代回上式，得到右式。 subs(u=sin(x),%); simplify指令並不能將再上式化簡。 simplify(%); 事實上，因Maple均假設ln函數之內的引數為正，因此，若以來做代換， 的積分值為 (1) 雖然(1)式與代換所積得的結果 並不相同，但還是可以利用代數來證明下面的恒等式(見本節習題)： ( 【例題9.1.3】 試求 【解】 的積分也可用代換積分法來完成，但須要用到一點小技巧： (1) 令，則，因此由(1)式可得 (2) 相同的，現嚐試以Maple來重複計算： 定義expr=。 expr:=Int(sec(x),x); value指令可求得的值，此值與(2)式相同。 value(%); 令，則積分式可改寫成右式，但Maple並不會自動化簡它。 changevar(u=sec(x)+tan(x),expr,u); 利用simplify指令則可化簡上式為。 simplify(%); 最後，將代回上式，即可求得積分值。 subs(u=sec(x)+tan(x),value(%)); ( 由例題9.1.2與9.1.3可得推導出下列四個重要的積分公式，其中我們把(9.1.2)與