华东师大数学分析第三版.ppt

热烈欢迎各位朋友使用该课件！ 广州大学数学与信息科学学院 数学分析 广州大学袁文俊、尚亚东 第十四章 幂级数 14.1 幂级数 一、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 常用已知和函数的幂级数 四、小结 思考题 广州大学 袁文俊、尚亚东 代数运算性质: (1) 加减法 (其中 (2) 乘法 (其中 柯西乘积 例 它们的收敛半径都是1, 但它们的收敛域各是 例：由几何级数的收敛得到的几个结论 两边求导得 两边积分得 解 解 两边积分得 显然，级数的收敛域为（–1，1] 解 收敛区间(-1,1), 2.幂级数的收敛性: 收敛半径R 3.幂级数的运算: 分析运算性质 1.函数项级数的概念: 思考题解答 （注意下角标的灵活处理） 思考题 幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？ 数学分析电子教案 引言 前面介绍了一般的函数项级数，重点是函数项级数收敛、一致收敛的判定方法以及一致收敛函数项级数的性质.从今天开始，我们将陆续向大家介绍两类特殊的常用的函数项级数，一类是“幂级数”（代数多项式的推广）；另一类是“Fourier级数”（三角多项式的推广，三角级数的特例，在物理中有广的应用）. 一 幂级数及其收敛性 二 幂级数的性质 三 幂级数的运算 1.定义 幂级数系数 2.幂级数的收敛点与收敛域 因此级数敛散性的问题对于函数项级数或幂级数而言，正确的提法是区间上的那些点使级数收敛，那些点使级数发散？ 函数项级数的部分和 余项 (x在收敛域上) 注意 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是常数项级数的收敛问题. 3.和函数 定义域是什么? 定义域就是级数的收敛域 证明 由(1)结论 几何说明 收敛区域 发散区域 发散区域 由定理14.1知道 定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. 规定 问题 如何求幂级数的收敛半径? 收敛域是 称为幂级数的收敛区间. 开区间 证明 由比值审敛法, 例1 求下列幂级数的收敛域: 解 该级数收敛; 该级数发散; 解 缺少偶次幂的项 级数收敛, 级数发散, 级数发散, 级数发散, 原级数的收敛域为 解 发散 收敛 故收敛域为(0,1]. 解 二 幂级数的性质 1 （阿贝尔第二定理） 定理14.4 证明： 2.和函数的分析运算性质: （求和与求极限可交换次序) （求和与求积可交换次序) （求和与求导可交换次序) 幂级数经逐项求导或逐项积分后，所得之幂级数的收敛半径不变； 说明： 在收敛区间的端点处的收敛性可能改变； 若经逐项求导或逐项积分后得幂级数在某一端点处收敛，则在该点处(2)、(3)仍成立。 * *