多元函数的极值-论文.doc

多元函数的极值 摘 要:本文引入了广义条件极值的概念,讨论了普通极值与条件极值的联系和区别.并在隐函数情形推广了Lagrange乘数法。 关键词:条件极值；广义条件极值；Hessian矩阵；Lagrange乘数法 The Extremum in Multivariable Functions The School of Mathmatics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China Abstract: Base on the conception of generalized constrained extremum. The ralation between extremum and constrained extremum is discussed . Then we extend the Lagrange multiplier in the condition of implicit function. Key word:constrained extremum; generalized constrained extremum; Hessian matrix; Lagrange multipliers 绪论 引言和符号交代 极值问题分为两类：普通极值问题和条件极值问题，普通极值问题又称为无条件极值问题。例如，求函数的极值，就属于无条件极值问题。但是在实际中我们往往遇到这样的问题，例如：要设计一个容量为的开口长方体水箱，试问水箱的长、宽、高各等于多少时，用的材料最少？为此设水箱的长，宽，高分别为，则表面积为 ， 但上述函数的各自变量还必须满足 这类附有约束条件的极值问题称为条件极值问题。两类极值问题是相辅相成的，也就是说，解决好无条件极值问题有助于解决条件极值问题；反之解决好条件极值问题将对解决无条件极值起促进作用。因此首先，我们必须弄清两者的区别和联系是什么。事实上，我们可以用一个统一的定义将两者加以概括。其次，研究多元函数的极值问题不得不回答隐函数的极值问题，因为我们遇到的大部分函数都是以隐式给出的，要真正解决好极值问题必须解决隐函数的极值问题。本文主要目的是要通过利用求条件极值的方法讨论求隐函数极值的方法。 本文要用到的主要符号：（有特殊说明的除外） 1、为中的区域， 2、为Hamilton算符，， 3、为Hessian矩阵， 4、为欧氏范数，若，则， 1.2 两种极值问题的联系和区别 定义1 设定义在中的区域D上,为D的内点,如果存在0,使 , 则称为的极大值，称为的极大值点。 如果 , 则称为的极小值，称为的极小值点 定义2 设函数定义于中的区域上,满足条件 此时的极值问题称为满足约束条件(1)的条件极值问题 上述两个定义给出了函数极值的两类问题,定义1为普通极值(无条件极值),定义2为条件极值问题,令 则 对满足定义2的条件极值点,必有 如果视为拓扑空间,其拓扑由的通常距离诱导出,令,则为的拓扑，为的子空间.设为中的开集,则为的开集,这样,定义2中的条件极值问题事实上可以理解为一种“普通极值”。因此,我们有如下 定义 设函数定义于中的区域上, ,对于,若存在在上的某邻域,使 则称为限制在集合上的极大值点.如果 则称为限制在集合上的极小值点。 注1 上述定义中的集合可以是任给的区域，如求在上的极值；也可以是方程(组)或不等式的解集合，如定义2；或其他。称定义中的为广义约束条件，称由该定义所得到的极值问题为广义条件极值问题。这样，定义2只是定义的特殊情形。 注2 如果为中的开集,则由上述定义中定义的极值点必为定义1中的极值点.反之,定义1中的极值点必为定义中的极值点(只要取),从而定义1也是上述定义的特殊情形. 注3 由1,2可看出,定义事实上是中极值问题的统一定义. 基本结果 2．1 普通极值问题的一个充分条件 定理1 设为函数的极值点,如果于处存在偏导数,则有 证明:对任意,考虑一元函数 则为的极值点,且在处可微,.由Fermat定理 故由 的任意性知 称满足的为的驻点，则显然若可微，为其极值点，则必为其驻点。 定理2 设在驻点的某邻域内二次可微，则 若为正定的，则是极小值点 若为负定的，则是极大值点 若为不定的，则不是极值点 若为半定的，则需要进一步判断 其中 为Hessian矩阵 为证明定理2，先给出 引理1[1] 设为定义于开区域上是元二次可微函数，，则带Peano余项的二阶Taylor展式可写为 其中 注：见参考文献[1] 引理2[2] （Rayleigh）设阶矩阵正定，分别为其最小特征值和最大特征值。则对任意有 证明：见参考文献[2] 定理2的证明： 因，故 由正定，故的特征值全大于0。 设分别为其最小特征值