浅谈数学问题多元化发展.doc

浅谈数学问题多元化发展 随着高中课改的实施，数学这门古老的学科也在进行不断地革新，因而数学问题出现了多元化发展． 一、数学本科知识交融化 在高中，平面解析几何与立体几何作为高中数学的两个分支，绝大部分情况下，两者几乎是相互独立的．但随着向量工具的引入，两者的联系日益密切． 例　如图所示，正方体的侧面内有一个动点到直线与直线的距离相等，试判断动点在侧面内的曲线形状． 分析 此题充分地联系了立体几何与解析几何，考察了空间点到线的距离距离概念、圆锥曲线的比值定义． 解　到直线的距离就是线段，所以在面中，动点到定点的距离等于其到定直线的距离，故由抛物线的定义知，点的轨迹是一条以定点为焦点、定直线为准线的抛物线，且过点（∵）． 二、数学与别学科交叉化 数学作为其他学科深入研究的工具，其重要性不言而喻．而在数学领域内也较多地出现了以其他学科为知识背景的、重在考察数学知识应用的问题． 例　某金店用一杆不准确的天秤（两臂不等长）称黄金，某顾客要购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，那么顾客实际所得黄金量与10g的大小关系? 分析 此题以物理学中的力矩问题为背景，考察基本不等式的应用． 解 设左、右臂长分别为、，第一次所称的实际黄金为g，第二次所称的实际黄金为g，则，故实际所得黄金量为． 三、大学数学知识提前化 现行高中课本就已引入了大学里的“线性规划”、“向量”、“概率”、“导数”等知识，而在更多的地方，如课外练习，会考、高考模拟卷中都大量的出现以大学知识为背景的数学信息题． 例　定理：若函数在上有定义，且对上任意的、，成立，则说在上满足李普希兹条件． 试判断函数及在上是否满足李普希兹条件？说明理由． 解　满足，不满足． 证明　任取、，且，则＝，因为，，，所以，则．故满足李普希兹条件． 对于，只需取，，则，而，故不满足李普希兹条件． 四、数学信息时代化 数学要紧跟时代步伐，那就要求我们及时关注社会热点问题．如95年全国卷的物价问题，96年全国卷的资源问题，00年上海卷的人口与GDP问题，01年上海卷的储蓄问题，而现今的房价与土供求问题，神六运行轨道问题，全运会中选手获奖概率问题等等． 例 小丁储备2008年赴京观看奥运会的费用，他从2001年起到2007年，每年元旦到银行存入a元一年定期储蓄，若年利率r保持不变，且每年存款到期自动转存新的一年定期． 到2008年元旦将所有的存款和利息悉数取出，可提取多少元钱． 解 2001年元旦存入银行后： 2002年元旦存入银行后： 2003年元旦存入银行后： …… 2007年元旦存入银行后： 故2008年元旦所取出的钱为：． 五、数学知识日常化 　　数学本就源于生活，故应回归生活，为生活服务，努力应用数学知识解决实际问题，以提高效益，压缩“成本”． 例　小丽在家做饭，但家里只有一个饭锅和一只炒菜锅．晚饭要烧一锅饭，炒三个菜．已知取米淘米下锅要3分钟，烧熟饭要10分钟，饭熟后要烘5分钟才能吃；炒甲、乙、丙三个菜分别要4分钟、5分钟和6分钟，把每个菜盛到碗里上桌分别各需1分钟；盛好一碗饭并端上桌配上筷子要半分钟，问小丽至少需要多少分钟才能吃可忙完吃饭？ 分析　这是生活中经常遇到的统筹问题，只有合理安排好时间，充分利用并行时间同时安排几件事，才能尽快忙完． 解 3分钟　　　　 10分钟　　　　 5分钟　　　　3×0.5分钟　　　　 淘米下锅 烧饭 吃饭 烘饭 盛饭配筷上桌 　 (4+1)分钟　　　　 (5+1)分钟　　　　 (6+1)分钟　 炒甲菜盛菜 炒乙菜盛菜 炒丙菜盛菜 共需：3+5+6+7+1.5=22.5(分钟)． 六、数学知识实验化 随着大量数学软件的开发（如几何画板等），让原本枯燥的数学学习，也能象理化生一样拥有了属于自己的一块实验地，让学生在观察其变化的过程中发现不变的本质，甚或是让学生自己动手，对问题进行进一步的探讨, 以培养学生观察、分析、归纳、猜想、创新的能力，充分调动学生的学习积极性、主动性，使数学充满生机、充满活力、充满美感． 例　C是半径为的定圆A内的一定点，D是圆上的一动点，过线段CD中点E作CD的垂线与半径AD的交点为F，求F的轨迹． 作法　 1）打开一个新绘图．用[画圆]工具画圆A（圆心为A），在圆A内取一定点C； 2）用[画线段]工具画线段CD，使点D在圆上； 3）作线段CD的中点E．同时选择线段CD与点E，并单击[作图]菜单中的[垂线]，作出线段CD的垂直平分线（直线）； 4）用[画直线]工具连AD，得直线； 5）作直线与直线的交点F．同时选中k和l，并单击[构造]菜