“时代杯”2008年江苏省中学数学应用与创新邀请赛复赛试题.docVIP

“时代杯”2008年江苏省中学数学应用与创新邀请赛复赛试题 （初中组） (2009年2月28日下午14∶00~16∶00) 题号 一 二 三 总分 1—6 7—10 11 12 13 14 15 得分 注意事项： 本试卷共页．150分．考试时间0分钟．一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的．每题分，共分） ）． A．5050 B．－5050 C．100 D．－100 2． “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：龟兔同时出发，沿直线向同一目标奔跑，领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，停下来睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到了终点，……. 用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（ ）． A． B． C． D． 3．同时抛掷两枚均匀的骰子1次，两枚骰子面朝上的点数之和大于8的概率是（ ）． A． B． C． D． 4．观察表一，寻找规律．表二、表三分别是从表一中选取的一部分，则的值为（ ）． A．45 B．46 C．48 D．49 0 1 2 3 … 1 3 5 7 … 2 5 8 11 … 3 7 11 15 … … … … … … 15 19 x 15 23 17 y 表一 表二 表三 5．如图，△DEF的边长分别为1，，2，正六边形网格是由24个边长为2的正三角形组成，以这些正三角形的顶点为顶点画△ABC，使得△ABC∽△DEF．如果相似比 =k，那么k的不同的值共有（ ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．将 BC 沿弦BC折叠交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝5，则BC的长是（ ）． A． 3 B．8 C． D．2 二、填空题（每题分，共分） 的解集是－1＜x＜1，则 (a＋b)2009的值是 ．，以点B为圆心，BA长为半径作圆交BC于点E． 在AE 上找一点P，使过点P的⊙B的切线平分长方形的面积．设此切线交AD于点S，交BC于点T，则ST的长为_______． 三、解答题（每题共分1．已知二次函数y＝x2＋2ax＋b2和y＝x2＋2bx＋c2的图象与x轴都有两个不同的交点，问函数y＝x2＋2cx＋a2的图象与x轴是否相交？为什么？ 12．一个长40cm、宽25cm、高50cm的无盖长方体容器（厚度忽略不计），盛有深为acm (a≤50)的水．现在容器里放入棱长为10cm的立方体铁块（铁块的底面落在容器的底面上）后，水深是多少? 13．设a，b，c是整数，使得 是一个有理数． 求证： 是一个整数． 14．设n为自然数，在△ABC内给定n个点．用一些除端点外没有公共点的线段连结这些点及A、B、C，将△ABC分成 t 个小的三角形． （1）用含n的代数式表示t； （2）证明t为定值，与线段的连法无关． 15．如图，在△ABC中，D为BC的中点，点E、F分别在边AC、AB上，并且∠ABE=∠ACF，BE、CF交于点O．过点O作OP⊥AC，OQ⊥AB，P、Q为垂足． 求证：DP=DQ． 2008年“时代杯”江苏省中学数学应用与创新邀请赛复赛试题 参考答案 一、选择题（每题6分，共36分） 1．B．2．D．3．C．4．D．5．C．6．A． 二、填空题（每题6分，共24分） 7．－1．8．200．9．337．10．． 三、解答题（每题18分，共90分） 11．解：不相交． ……………… 3分 由题设，得a2－b2＞0，b2－c2＞0． ………………9分 则a2＞b2＞c2，所以c2－a2＜0． ………………15分 从而知函数y＝x2＋2cx＋a2的图象与x轴不相交． ………………18分 12．解：由题设，知水箱底面积S＝40×25＝1000(cm2)． 水箱体积V水箱=1000×50＝50000（cm3）， 铁块体积V铁=10×10×10＝1000（cm3）. ……………3