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例说处理和(差)角范围问题的几点做法
倪步国
在三角解题中经常遇到确定和(差)角范围的问题,学生常因确定和(差)角范围的偏差导致解题失误。本文举例说明这类问题的处理方法。
一. 合理选用公式来确定
例1 已知α,β均为锐角, sinα=,求α+β的值。
解析:由已知条件有
cosα=,且0<α+β<π。
又cos(α+β)
=cosαcosβ-sinαsinβ
评注:若本题选择正弦的和角公式,会因为一、二象限角的正弦值均为正,而得出两个结果,导致解题失误,这就需要注意公式的合理选用,若将本例改为:设α是锐角,,且,求α+β的值,则选用正弦和角公式合理。
另外,四个象限角的正切值正负相间,故本例亦可选用正切和角公式。
二. 借用其他三角函数来确定
合理选用公式,仅对两角和(差)的范围在相邻两个象限时起作用,而对于其它情形,可通过两角和(差)的两个三角公式,来确定两角和(差)的范围。
例2 已知,且α,β都是第二象限角,试确定2α+β,2α-β所在象限。
解析:由条件α,β都是第二象限角,则有
因为2α+β,2α-β都可能落在三个象限,单独使用正(余)弦和差角公式,从值的符号都不能决定2α+β,2α-β的象限,但同时使用正弦、余弦的和差角公式,即可解决。
由cos(2α+β)
=cos2αcosβ-sin2αsinβ
知2α+β在一、四象限。
又sin(2α+β)
=sin2αcosβ+cos2αsinβ
知2α+β在一、二象限。
综上知2α+β在第一象限。
同理可确定2α-β在第三象限。
三. 挖掘隐含条件来确定
例3 已知cos(α-β)= 都是锐角,求cos(α+β)的值。
解析:由已知条件有
因为0<sin2α=,
所以0<2α<,
所以0<α<。 ①
又因为0<β<,
所以<-β<0 。 ②
由①、②得<α-β<。
又因为cos(α-β)=,
所以。
=。
从而cos(α+β)
=cos[2α-(α-β)]
=cos2αcos(α-β)+sin2αsin(α-β)
评析:本例通过0<sin2α= ,发现了隐含条件:0<α<,将α-β的范围缩小为,进而由cos(α-β)= ,将α-β的范围确定为,从而避免了增解。
例4 已知,且tanα,tnaβ是一元二次方程的两个根,求α+β的值。
解析:由已知条件得tanα+tanβ= ,
tanαtanβ=4>0,
所以tnaα<0,tanβ<0。
又因为,
所以
所以-π<α+β<0。
又因为tan(α+β)=
=
所以α+β= 。
评析:本例根据韦达定理tanα+tanβ= ,tanαtanβ=4,挖掘出了隐含条件tanα<0,tanβ<0,知,,得出了α+β的确切范围,从而顺利求解。
总之,在处理两角和(差)范围问题时,要注意对题目条件加以研究,特别对隐含条件的挖掘,合理选用公式灵活处理。另外涉及多角和(差)的问题,亦可依照上面做法处理。
年级 高中 学科 数学 版本 期数 内容标题 例说处理和(差)角范围问题的几点做法 分类索引号 G.622.475 分类索引描述 统考试题与题解 主题词 例说处理和(差)角范围问题的几点做法 栏目名称 专题辅导 供稿老师 审稿老师 录入 周婕 一校 二校 审核
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