《测度论》教学大纲.docVIP

测度论教学大纲 (Measure Theory) 课程代码 MATH130070 编写时间 2007.1 课程名称 测度论 英文名称 Measure Theory 学分数 3 周学时 3 任课教师* 应坚刚，谢践生等 开课院系 数学学院 预修课程 微积分 课程性质： 本课程是数学学院基础课/专业选修/限选课，为数学学院本科二、三年级学生第一/二学期专业选修。 基本要求和教学目的： 通过本课程的学习，使学生初步掌握σ-代数、测度、可测函数等基本概念。熟悉几种不同的收敛方式，例如：依测度收敛、分布收敛。了解积分的定义及基本性质，初步掌握乘积测度空间的构造、Fubini定理的应用及测度论的典型方法。 课程基本内容简介： 测度论是现代数学的一个重要分支，在概率统计、随机过程、微分方程、微分几何和调和分析中有广泛应用。本课程旨在介绍测度论的基本理论。主要介绍了可测空间、σ-代数及σ-代数上的测度的构造，还介绍了可测函数、可测函数积分，最后介绍了广义测度理论、乘积空间理论以及测度收敛性的有关理论。 教学方式: 课堂授课； 教材和教学参考资料 作者 教材名称 出版社 出版年月 教材 严加安编 《测度论讲义》 科学出版社 2000年1月 参考资料 P. R. Halmos 《Measure theory》 （GTM 18）Springer-Verlag 1974年 朱成熹 《测度论基础》 高等教育出版社 1981年 E．Hewitt K. Stromberg 《Real and abstract analysis》 (GTM 25) Springer-Verlag 1975年 教学内容安排： 第一章 集与类（一共6学时） §1 几个重要的集类（3学时） §2 最小σ-代数，λ-π类方法（3学时） 本章教学要求： 掌握几个重要的集类：环、代数、σ-代数、π类、λ类（以及半环与单调类）；熟练地掌握λ-π类方法（外延法）。 第二章 测度（一共8学时） §1 测度的定义与基本性质（2学时） §2 外测度（2学时） §3 测度的延拓（2学时） §4 测度的逼近与完全化（2学时） 本章教学要求： 掌握测度、外测度的概念与基本性质。能熟练地掌握测度的延拓方法及其完全化。 第三章 可测函数与可测映射（一共8学时） §1 可测函数的定义与基本性质（2学时） §2 可测函数列的两种收敛性（3学时） §3 可测映射（2学时） §4 概率空间与随机变量、随机元（1学时） 本章教学要求： 掌握可测函数、可测映射的定义与基本性质。掌握可测函数的两种收敛方式。 第四章 抽象Lebesgue积分（一共9学时） §1 积分的定义（1学时） §2 积分的基本性质（2学时） §3 积分号下取极限（3学时） §4 L^p-空间及其对偶（3学时） 本章教学要求： 掌握Lebesgue积分的定义与基本性质。掌握积分号下取极限的条件以及L^p-空间的基本性质。 第五章 广义测度（一共8学时） §1 广义测度的定义与基本性质（2学时） §2 广义测度的结构--Jordan-Hahn分解（2学时） §3 Radon-Nikodym导数（2学时） §4 Lebesgue分解（2学时） 本章教学要求： 掌握广义测度的定义与基本性质。掌握广义测度的结构以及Radon-Nikodym定理。 第六章 乘积空间与测度（一共9学时） §1 二维乘积空间（2学时） §2 Fubini定理（2学时） §3 无穷维乘积空间与乘积测度（2学时） §4 任意维乘积空间（3学时） 本章教学要求： 掌握乘积空间的定义。掌握Fubini定理和Kolmogrov相容性定理。 *第七章 测度的收敛（一共4学时；时间不够，可选择不讲） 本章教学要求： 介绍测度的收敛与弱收敛以及相关定理。 作业和考核方式：闭卷笔试