《数理方程续论》教学大纲.docVIP

数理方程续论教学大纲 (Advanced course on Mathematical Physics) 课程代码 318.118.1 编写时间 课程名称 数理方程续论 英文名称 Advanced course on Mathematical Physics 学分数 3 周学时 3 任课教师* 张永前 开课院系** 数学学院 预修课程 课程性质： 本课程是数学学院选修课程；选修对象为数学学院三年级及四年级学生。 基本要求和教学目的： 通过本课程的学习，熟练掌握一些偏微分方程的性质及其基本的分析求解方法，如一阶严格双曲型偏微分方程组的特征理论及化为对角形方程组进行求解，先验估计，强函数方法，一阶对称双曲型方程组的能量估计方法，广义函数与Sobolev空间的初步应用等，为今后的学习打下基础。 课程基本内容简介： 本课程主要内容为一阶偏微分方程，Cauchy-Kowalevskaya定理及其应用，Holmgren定理及其应用，一阶对称双曲型方程组，广义函数及Sobolev空间初步。 教学方式: 课堂授课 教材和教学参考资料： 作者 教材名称 出版社 出版年月 教材 谷超豪，李大潜，陈恕行，郑宋穆，谭永基 数学物理方程(第二版) 高等教育出版社 2002 参考资料 陈恕行 现代偏微分方程导论 科学出版社 2005 Fritz John, 朱汝金译 偏微分方程 科学出版社 教学内容安排： 第一章 一阶偏微分方程组(12学时) 引言（2学时） 两个自变量的一阶线性偏微分方程组的特征理论（3学时） 两个自变量的一阶线性双曲型方程组的柯西问题（4学时） 两个自变量的一阶线性双曲型方程组的其他定解问题（3学时） 本章教学要求: 掌握两个自变量的一阶线性偏微分方程组的特征理论，熟练应用于严格双曲型方程组化简中；掌握用逐次迭代方法求解对角形双曲型方程组的柯西问题，并对一些定解问题的适定性进行讨论。 第二章 Cauchy-Kowalevskaya定理（14学时） 幂级数解法（2学时） Cauchy-Kowalevskaya定理及其证明（4学时） 初始资料给在一般曲面上的情形（3学时） Holmgren定理（3学时） Holmgren定理的应用（2学时） 本章教学要求: 掌握Kowalevskaya型方程的幂级数解法以及Cauchy-Kowalevskaya定理的强函数证明方法及简单应用；掌握Holmgren定理的证明方法及简单应用。 第三章 对称双曲型偏微分方程组（12学时） 对称双曲组及其柯西问题（2学时） 对称双曲组柯西问题的能量不等式（4学时） 柯西问题解的存在性及唯一性（4学时） 初边值问题的能量不等式与唯一性（2学时） 本章教学要求: 了解对称双曲型偏微分方程组的形式，掌握对称双曲型偏微分方程组柯西问题和初边值问题的能量不等式的推导；熟练应用能量不等式推导解的唯一性，同时结合Cauchy-Kowalevskaya定理或差分方法推导柯西问题解的存在性。 第四章 广义函数及Sobolev空间初步（16学时） 广义解与广义函数的概念（2学时） 广义函数的性质与运算（6学时） 广义函数的傅立叶变换（3学时） 基本解（2学时） 整数阶sobolev空间的定义与性质（3学时） 本章教学要求: 掌握广义函数的概念，性质与运算；了解一些常系数偏微分方程的基本解以及整数阶sobolev空间的定义与性质。 作业和考核方式：考试 *如该门课为多位教师共同开设，请在教学内容安排中注明。**考虑到有时同一门课由不同院系的教师开设，请任课教师填写此栏。