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球面几何的内容与案例分析 王建明 北京教育学院数学系 100011 Email: jmingwang@ 2005年5月14日 为什么要学习球面几何 历史久远的一个学科 现实和生活意义 另一种几何 球面几何的定位 球面上的综合几何 课标要求：球面直线、球面线段、球面距离；球面三角形、球面极三角形的基本性质；球面上的对称性、球面上的合同性（全等三角形的判断）；球面三角形的面积、球面欧拉公式；球面三角学；欧氏几何与非欧几何的关系 学习方法：类比平面几何 技术支持：几何画板 背景支持：地球表面 球面几何与欧氏几何的类比 几何直观与球面几何 动手操作（理解球面距离）???? ? 1）准备一条足够长的细绳，一支铅笔，一块橡皮擦，一个皮球，一把剪刀； 2）制作一段等于大圆的细绳；这条细绳的作用就相当于“直尺”； 3）给定皮球上两点，画出过这两点的大圆劣弧；过这两点再画一条别的曲线，分别用细绳丈量，比较它们的长短； 4）同学们相互交流。 几何直观的技术支持 球面直观图 球面三角形基本性质的探索 球面三角形独有的性质探索 《球面三角形》单元设计（4课时） 近期目标 难点和重点 长期目标 主要教学活动 设计意图 注意事项 近期目标 为构建球面三角形的定义做准备，了解球面上两条直线的交角 认识球面是中心对称图形，是面对称图形 体会几何学两个基本任务—平直性研究和对称性研究（合同性）之一的对称性研究 了解球面三角形的意义，注意类比与平面三角形定义的异同点 了解球面三角形的边的基本性质，注意引导学生认识平面三角形的边的哪些性质可以在球面三角形中成立，发展学生的类比思想 以地球为实例，认识球面三角形的内角和的特征区别于平面三角形，进而使学生思考并理解球面三角形内角和的基本性质 难点和重点 难点 球面三角形和球极三角形的定义 空间想像力在球面三角形和球极三角形上的实现 重点 球面对称性、球面三角形基本性质与平面三角形基本性质的类比 在地球面上不断实践空间想像力 以地球面为背景，持续发展学生的球面对称性、球面三角形基本性质的几何直观能力 长期目标 空间想像力 几何直观能力 类比的数学思想和方法 紧密联系学生生活实际，培养学生的数学应用意识 主要活动和设计意图 鼓励学生在回顾平面中两条直线的夹角基础上，尝试定义“球面上两直线的夹角” 通过直观图或技术支持，帮助学生认识球面是一个对称图形 通过组织学生构造等腰三角形和等边三角形，认识具体的球面三角形，并为球面三角形边的性质研究作准备 回顾平面三角形的边的性质，通过技术支持，首先使得学生感受基本性质，进而利用立体几何初步中的知识，证明基本性质 主要活动和设计意图 通过提出问题（球面三角形内角和在什么范围），引入球面极三角形的定义 借助几何直观，探索球面三角形内角和的性质 注意事项 球面几何的学习应该发展学生的空间想像力和几何推力能力 学习应该经常以地球为例帮助学生认识和理解球面的直线、球面三角形等直观概念 教师应该引导学生尝试分析和解决以地球为背景的实际问题 选修3的定位 以初中知识作为基础，区分高一、高二学生的选择 从学生熟悉问题出发，使学生感受更多的数学发展方向，为他们未来的发展提供思考的机会 给学生一定空间， 深入浅出，力求通俗易懂 独立思考、写总结报告 不进入考试 几何课程观 几何发展历史—高屋建瓴 几何方法论—综合几何到向量几何 几何教学—直观+可视化 几何教材—努力掌握课标实质 几何课程—注意知识发展链，不做马路警察 球面二角形（月形） 球面三角形的面积 * *