2011届高考数学复习课件：简易逻辑--反证法.pptVIP

* 一、命题的有关概念 1.命题 可以判断真假的语句. “非 p”形式的复合命题与 p 的真假相反; 2.逻辑联结词 “或”、“且”、“非”. 3.简单命题 不含逻辑联结词的命题. 4.复合命题 含有逻辑联结词的命题. 5.复合命题真值表 “p 或 q”形式的复合命题当 p 与 q 同时为假时为假, 其它情形为真; “p 且 q”形式的复合命题当p 与q同时为真时为真, 其它情形为假. 真 假 假 真 非 p p 假 假 假 真 真 假 真 假 真 真 真 真 p 或 q q p 假 假 假 假 真 假 假 假 真 真 真 真 p 且 q q p 二、命题的四种形式 逆否命题: 若?q, 则?p. 原命题: 若 p, 则 q; 逆命题: 若 q, 则 p; 否命题: 若?p, 则?q; 互逆 互逆 互 否 互 否 否命题 若?p 则?q 逆否命题 若?q 则?p 原命题 若 p 则 q 逆命题 若 q 则 p 互 为 逆 否 否 逆 为 互 注: 互为逆否命题的两个命题同真假.　 三、反证法 1.一般步骤 ①反设: 假设命题的结论不成立, 即假设结论的反面成立; ②归谬: 从假设出发, 经过推理论证, 得出矛盾; ③结论: 由矛盾判定假设不正确, 从而肯定命题的结论正确. 2.命题特点 ①结论本身以否定形式出现; ②结论是“至少”、“至多”、“唯一”、“都是”等形式; ③结论涉及“存在或不存在”，“有限或无限”等形式; ④结论的反面比原结论更具体或更易于证明. 3.特殊结论的反设 至少 n+1 个 至多 n-1 个 至少有一个是 不都是 不小于(≥) 不大于(≤) 反设词 至多 n 个 至少 n 个 都不是 都是 小于() 大于() 原结论词 至少有一个 x, 使…不成立 不存在或至少存在两个 只有有限多个 反设词 对任意 x, 使…恒成立 存在唯一的 有无穷多个 原结论词 4.引出矛盾的形式 ①由假设结论 q 不成立, 得到条件 p 不成立; ②由假设结论 q 不成立, 得到结论 q 成立; ③由假设结论 q 不成立, 得到一个恒假命题; ④分别由假设与条件推得的两个结论矛盾. 典型例题 用反证法证明下列各题: 1.某班有 49 位学生, 证明: 至少有 5 位学生的生日同月. 3.设 f(x)=x2+ax+b, 求证: |f(1)|、|f(2)|、|f(3)| 中至少有一个不小于 . 1 2 4.设三个正数 a, b, c 满足条件 + + =2, 求证: a, b, c 中至少有两个不小于 1. b 1 a 1 c 1 2.若 p1p2=2(q1+q2), 证明关于 x 的方程 x2+p1x+q1=0 与 x2+p2x+ q2=0 中, 至少有一个方程有实根. 证: 假设至多有 4 位学生的生日同月, 即: 生日在 1, 2, …, 12 月的学生人数都不超过 4 人. 则该班学生总数 m≤4?12=48人, 与该班有 49 位学生的条件矛盾, ∴假设不成立. ∴至少有 5 位学生的生日同月. 1.某班有 49 位学生, 证明: 至少有 5 位学生的生日同月. 证: 假设这两个方程都没有实根, 则 △10 且 △20, 从而有:　 △1+△20. 又∵△1+△2=(p12-4q1)+(p22-4q2)=p12+p22-4(q1+q2) =p12+p22-2p1p2=(p1-p2)2≥0, 与 △1+△20 矛盾. 即 △1+△2≥0,　 ∴假设不成立. 故这两个方程至少有一个有实根. 2.若 p1p2=2(q1+q2), 证明关于 x 的方程 x2+p1x+q1=0 与 x2+p2x+ q2=0 中, 至少有一个方程有实根. 证: 假设 |f(1)|、|f(2)|、|f(3)| 全小于 , 即: 1 2 - 1+a+b 1 2 1 2 - 4+2a+b ? 1 2 1 2 - 9+3a+b 1 2 1 2 - a+b- ① 3 2 1 2 - 2a+b- ② 9 2 7 2 - 3a+b- ③ 2 19 2 17