2012届高三理科数学一轮总复习第十八章 不等式选讲（教师用书）.docVIP

第十八章　不等式选讲 高考导航 考试要求 重难点击 命题展望 1.理解绝对值的几何意义，并能用它证明绝对值三角不等式等较简单的不等式.|a＋b|≤|a|＋|b|；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|. 2.能用绝对值的几何意义解几类简单的绝对值型不等式，如ax＋b≤c或ax＋b≥c，以及x－a＋x－b≥c或x－a＋x－b≤c类型. 3.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法和放缩法. 4.了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用它证明一些简单不等式及其他问题. 5.了解柯西不等式的几种不同形式：二维形式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2、向量形式|α|·|β|≥|α·β|、一般形式 本章重点：不等式的基本性质；基本不等式及其应用、绝对值型不等式的解法及其应用；用比较法、分析法、综合法证明不等式；柯西不等式、排序不等式及其应用. 本章难点：三个正数的算术——几何平均不等式及其应用；绝对值不等式的解法；用反证法、放缩法证明不等式；运用柯西不等式和排序不等式证明不等式. 本专题在数学必修5“不等式”的基础上，进一步学习一些重要的不等式，如绝对值不等式、柯西不等式、排序不等式以及它们的证明，同时了解证明不等式的一些基本方法，如比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等，会用绝对值不等式、平均值不等式、柯西不等式、排序不等式等解决一些简单问题.高考中，只考查上述知识和方法，不对恒等变形的难度和一些技巧作过高的要求. 知识网络  18.1　绝对值型不等式 典例精析 题型一　解绝对值不等式 【例1】设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|. (1)解不等式f(x)＞3； (2)若f(x)＞a对xR恒成立，求实数a的取值范围. 【解析】(1)因为f(x)＝|x－1|＋|x－2|＝ 所以当x＜1时，3－2x＞3，解得x＜0； 当1≤x≤2时，f(x)＞3无解； 当x＞2时，2x－3＞3，解得x＞3. 所以不等式f(x)＞3的解集为(－∞，0)(3，＋∞). (2)因为f(x)＝所以f(x)min＝1. 因为f(x)＞a恒成立， 所以a＜1，即实数a的取值范围是(－∞，1). 【变式训练1】设函数f(x)＝. (1)当a＝－5时，求函数f(x)的定义域； (2)若函数f(x)的定义域为R，试求a的取值范围. 【解析】(1)由题设知|x＋1|＋|x－2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y＝|x＋1|＋|x－2|和y＝5的图象，知定义域为(－∞，－2][3，＋∞). (2)由题设知，当xR时，恒有|x＋1|＋|x－2|＋a≥0，即|x＋1|＋|x－2|≥－a，又由(1)|x＋1|＋|x－2|≥3， 所以－a≤3，即a≥－3. 题型二　解绝对值三角不等式 【例2】已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|，若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)对a≠0，a、bR恒成立，求实数x的范围. 【解析】由|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)且a≠0得≥f(x). 又因为≥＝2，则有2≥f(x). 解不等式|x－1|＋|x－2|≤2得≤x≤. 【变式训练2】(2010深圳)若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是　　　　　　　. 【解析】(－∞，0){2}. 题型三　利用绝对值不等式求参数范围 【例3】(2009辽宁)设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|. (1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3； (2)如果x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围. 【解析】(1)当a＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|. 由f(x)≥3得|x－1|＋|x＋1|≥3， 当x≤－1时，不等式化为1－x－1－x≥3，即－2x≥3， 不等式组的解集为(－∞，－]； 当－1＜x≤1时，不等式化为1－x＋x＋1≥3，不可能成立， 不等式组的解集为； 当x＞1时，不等式化为x－1＋x＋1≥3，即2x≥3， 不等式组的解集为[，＋∞). 综上得f(x)≥3的解集为(－∞，－][，＋∞). (2)若a＝1，f(x)＝2|x－1|不满足题设条件. 若a＜1，f(x)＝ f(x)的最小值为1－a.由题意有1－a≥2，即a≤－1. 若a＞1，f(x)＝ f(x)的最小值为a－1，由题意有a－1≥2，故a≥3. 综上可知a的取值范围为(－∞，－1][3，＋∞). 【变式训练3】关于实数x的不等式|x－(a＋1)2|≤(a－1)2与x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0 (aR)的解集分别为A，B.求使AB的a的取值范围. 【解析】由不等式|x－(a＋1)2|≤(a－1)2－(a－1)2≤x－(a＋1)2≤(a－1)2， 解得2a≤x≤a2＋1，于是A＝{x|2a≤x≤a2＋1}. 由不等式x2－3(a