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高中数学解题方法谈:探究一道高考题.doc
探究一道高考题
2004年高考数学湖北卷第19题是一道颇具探究价值的试题:
如图1,在中,已知,若长为的线段以点为中点,问与的夹角取何值时,的值最大?并求出这个最大值.
下面从三个方面给予探究.
一、常规解法
解法1:如图2,∵,
∴.
∵,,.
∴.
故当,即(与方向相同)时,的值最大,其最大值为.
点评:本解法利用向量的几何形式及其运算,将转化为角的函数求解,有一定的技巧性.
解法2:如图3,以直角顶点为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系.
设,,则,,,且,.
设点的坐标为,则,
∴,,,.
∴.
∵,
,.
故当,即(与方向相同)时,最大,其最大值为.
点评:本解法利用向量的坐标形式及其运算,数形结合,将转化为角的函数求解.其解题思路自然流畅,入手较易.
二、创新解法
解法3:仿解法2,建立平面直角坐标系,设出向量的坐标,得到.
∵,,
∴.
故(当且仅当,时,取“=”),即取最大值,此时,,,,,故与的夹角为.
点评:本解法紧紧抓住关系式,活用基本不等式求得最大值,简捷、巧妙.
三、探究感悟
1.平面向量的数量积是平面向量的一种重要运算.将问题中的垂直关系转化为向量的数量积为,进而转化为角的余弦函数是求得最值的关键.
2.把几何图形放到适当的坐标系中,就赋予了有关点与向量具体的坐标,这样就能进行相关的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决.这种解题方法具有普遍性,同学们应能够很好地掌握.其中坐标系的建立很重要,它关系到运算的繁与简.
3.对同一个问题从不同角度探究拓展,有利于同学们思维能力的培养,也是提高复习效率的有效途径.同学们在平时复习时,应多做这方面的工作.
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