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第五章 离散系统分析 本章要点 5.1 离散时间信号 5.1.1 离散时间信号概述 离散时间信号就是指在时间上不连续，且只在某些离散的瞬间有定义的信号。一般取离散时间信号的时间间隔为均匀间隔。 离散时间信号又称为序列。通常，用?(k)来表示序列的第k个数，其中k为整数。于是，序列可表示为{ ?(k) }，但为了方便，有时直接用?(k)来表示序列。值得注意的是?(k)仅仅在k为整数时才有意义，认为?(k)在k不为整数时为零是不准确的，因为除了k为整数外，其他取值是没有定义的。 5.1.2 基本离散信号 需要指出的是，对于因果系统，激励信号?(k)在k=0时刻接入系统，其零状态指的是y(-1)=y(-2)=…=y(-n)=0。 离散系统一般是由常系数线性差分方程描述的，设其激励信号为?(k)，响应为y(k)，则n阶后向差分方程为 式中an-i,i=0,1,…,n，bm-j,j=0,1,…,m均为实数。 设?(k)在时刻接入系统，系统初始状态为y(-1),y(-2),…,y(-n)，则y(k-i)的单边z变换为 而激励信号?(k)的初始状态为y(-1)=y(-2)=…=y(-n)=0，故 所以，对n阶后向差分方程两边取单边Z变换，得 整理可得 令 则 其中 在用单边Z变换分析Z域系统时，常用到下面的几个式子： 1）对于后向差分方程： 2）对于前向差分方程： 例5-32 描述某因果离散系统的差分方程为 已知初始状态y(0)=y(1)=1，求系统的零输入相应。 解：零输入响应，即激励信号?(k)=0的系统响应，对差分方程两边取单边Z变换可得 经整理，得 由于系统的激励信号为零，此时系统响应中只含有零输入响应，故将初始状态y(0)=y(1)=1代入，有 所以，系统的零输入响应为 2.差分方程的z域框图 前面已经知道差分方程可以在k域用加法器、标量乘法器和单位延时器来模拟系统。其实在Z域，同样可以用相应的运算单元来模拟系统，只是二者有些差异。表5-3对比列出了k域与z域的模型。 名称 k域 Z域 标量乘 法器 加法器 单位延 时器 例5-33 某差分方程为 画出其系统的Z域框图。 解：可以先画出对差分方程的k域框图，再根据表5-3转化为z域框图。也可以对差分方程两端进行z变换，直接画出z域框图。这里先绘出其k域框图如图5-28所示。 对方程进行z变换后，得 其z域系统框图如图5-29所示。 图5-28 k域框图 图5-29 Z域框图 5.5.2 系统函数 1.系统函数定义 系统函数H(z)是系统的特征函数，即 系统零状态响应的象函数Yzs(z)可以表示为 即零状态响应的象函数Yzs(z)等于系统函数H(z)与激励信号的象函数F(z)之乘积。从而系统的零状态响应yzs(k)为 由h(k)?H(z)及Z变换的卷积性质可知 故 即系统零状态响应yzs(k)等于单位样值响应h(k)与激励信号?(k)的卷积和。 这里需要指出的是，单位样值响应h(k)有时又称为单位冲激响应，即激励信号为冲激信号δ(k)时的系统响应。 2.系统函数极点分布情况 系统函数可表示为 一般要求n≥m，H(z)为z的有理式，故上式可表示为 式中p1,p2,…,pn为系统函数H(z)的极点，z1,z2,…,zm为系统函数H(z)的零点。当n=m时，K0为常数，否则若n＞m，K0为零。 为方便讨论，假设所有的极点都是单极点，则系统函数H(z)按部分分式法可以展开为 式中若p0=0，则系统的单位样值响应h(k)为 系统函数H(z)的极点决定了h(k)时域特性，而零点只影响h(k)的幅度和相位。按H(z)的极点在Z平面的分布情况，可以分为：在单位圆内、在单位圆上和在单位圆外三种。 （1）在单位圆内 极点在单位圆内，意味着|pi|＜1（pi为H(z)的极点）。在单位圆内的极点可以分为实极点和共轭极点两种。假设H(z)有单实极点pi，则H(z)的部分分式展开式中将含有 从而，极点在单位圆内的单位样值响应hi(k)为 由于|pi|＜1，所以pikε(k)是衰减序列。 同理，若H(z)有共轭极点，可推知对应的单位样值响应h(k)为衰减振荡序列。 （2）在单位圆上 在单位圆上的实极点只有1或-1两种情况，因此H(z)的部分分式展开式中必将含有 3. 卷积和的求解方法 (1) 图解法 与连续信号卷积积分图解法的求解过程类似，卷积和的图解法求解过程也分为四步。 1）换元、反转：将序列?1(k)和?2(k)中的变量k换为变量i，得到序列?1(i)和?2