线性代数教案13.ppt

线性方程组解的表示 线性方程组解的表示 * * 1.3 行列式 行列式的定义 行列式是研究矩阵的一个重要工具，是矩阵的重要数字特征。 定义：对于n阶方阵 用记号 表示一个与A相联系的数，称为矩阵A的行列式(Determinant). 记做det(A)，或|A|. 行列式的计算 余子式与代数余子式：在n阶行列式中，划去元 所在的行和列（第i行和第j列），剩余的元保持原来的次序所构成的n－1阶行列式，称为元 的余子式，记为 ；称 为 的代数余子式，记为 因此 上述定义中，要求 ，即3阶及3阶以上的行列式中的元才有余子式和代数余子式. 行列式的计算：2阶行列式 n阶行列式 等于任一行（列）的每个元与其代数余子式乘积的和.即 上式为n阶行列式按第一列的展开式. 例题1 计算行列式 解： 例题2 计算行列式 解： 行列式的性质 ※1. 行列式可以按任意一行（列）展开； ※2. 行列式某一行（列）的元与另一行（列）对应元的代数余子式的乘积之和为零. ※3. 行列式转置后，其值不变； ※4. 行列式中某一行（列）的所有元的公因子，可以提到行列式符号外； ※5. 如果行列式的某一行（列）的元都是两项的和，则可以把这个行列式化为两个行列式的和； ※6. 设A与B为n阶方阵，则|AB|=|A||B|； ※7. 互换行列式的两行（列），行列式只改变符号； ※4. 行列式中某一行（列）的所有元的公因子，可以提到行列式符号外； ※8. 如果行列式的某一行（列）的元加上另一行（列）相应元的若干倍，则行列式不变； 小结 行列式性质的推论 1. 行列式有一行（列）元素全为零，行列式为零； 2. 行列式有两行（列）的元对应相等，行列式为零； 3. 行列式有两行（列）的元对应成比例，行列式为零； 4.设A为n阶方阵，则 例题3 计算三角行列式 解 同理， 小结 例题4 计算行列式 行列式的计算与化简 为解决行列式的计算问题，应当利用行列式的性质进行有效的化简。化简的一般方法是初等变换，目的是化为三角行列式。着手点不同，计算与化简的过程也不尽相同，应善于发现具体问题的特点，并根据特点选择方法与技巧。 练习 计算行列式 例题5 计算行列式 解1 解2 例题6 证明范德蒙德（Vandermonde）行列式 小结 证明 克拉默（Cramer）法则 定理 如果线性方程组 的系数行列式 则该方程组有唯一解 这里 小结 例题7 解线性方程组 解 由于 从而 推论 齐次线性方程组有惟一的零解的充分必要条件为系数行列式D不为零. 行列式、伴随矩阵与逆矩阵的关系 伴随矩阵：对任意n阶方阵A，由|A|中每个元的代数余子式所构成的方阵 称为A的转置伴随矩阵（Adjugate Matrix）或伴随矩阵，记为 定理1.8 设A是n阶方阵， 为其转置伴随矩阵，则 定理1.9 n阶方阵A为可逆矩阵的充分必要条件是 此时有 小结 例题8 证明 （1）对于n阶方阵A，若存在方阵B，使得 AB＝I 则A可逆，且 ； （2）对于n阶方阵A，若存在方阵B，使得 BA＝I 则A可逆，且 . 例题9 判断下面矩阵是否可逆，若可逆，求其逆矩阵 求逆矩阵的方法小结 1. 定义法； 2. 行变换法； 3. 伴随矩阵法； 例题10 设 且 ，求矩阵 解 由于 ，故A可逆，从而由 得 而 故