【材料力学课件】单位载荷法莫尔积分.docVIP

单位载荷法 莫尔积分 　　单位载荷法：用于求结构上某一点某方向上位移的方法。如要求图11-18刚架A点a-a方向的位移△，可将该系统（图11-18a）真实位移作为虚位移，而将单位力（广义力）作用于同一结构上A点a-a方向的结构作为一个平衡力系（图11-18b）,则应用虚功原理有：　　　 　（11-23）　　　　　　　 其中，，，是单位力系统的内力，而d(△l)，dθ、dλ是原系统的变形，现在被看作是虚变形；△是原系统上A点沿a-a方向的真实位移。 　　对于拉压杆件，则只保留（11-23）式的第一项： 　　　　　　　　　　　 　　　　　 　（11-24） 若杆的内力=常数，则上式改为：　　　　　　　　　　　 对于有n根杆组成的桁架，则有： 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　（11-25）　对于杆以弯曲为主，则可忽略轴力与剪力的影响，有：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（11-26） 仿照上述推导，如要求受扭杆某一截面的扭转角△，则以单位扭转力偶 x 作用于该截面，并引起扭矩，以原结构引起微段两端截面相对扭转角为虚位移，则： 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　（11-27） 以上诸式中。如求出的△为正，则表示原结构位移与所加单位力方向一致。 　　若结构材料是线弹性的，则有： 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　　 则式（11-25）、（11-26）、（11-27）分别化为　　　　　　　　　　 　　　　　（11-28）　　　　　　　　　　 　　　　　　　（11-29） 　　　　　　　　　　 　　　　　 （11-30）　　这些式子统称为莫尔定理,式中积分称为莫尔积分，显然只适用于线弹性结构。 　　　　　　 　　当需要求两点的相对位移时，如图11-19a所示截面A与B的相对位移△A+△B，则只要在A，B两点的联线方向上加一对方向相反的单位力（图11-19b），然后用单位载荷法计算，即可求得相对位移，因为这时的 ，即是A，B两点的相对位移。同理，如需要求两截面相对转角，只要在两截面上加方向相反的一对单位力偶矩即可。　　莫尔积分还可用另一方法导出：如欲求梁上C点在载荷P1，P2，…作用下的位移△（图11-20a），可在C点假想先只有单位力P0=1作用（图11-20b），由应变能公式（11-12）（对线弹性材料）得P0作用的应变能： 　　　　　　　　　　　 　　　　　（11-31）此后将P1，P2，…作用于梁（图11-20c），由于P1，P2，…作用的变形能为。这时，梁的总变形能为： 　　　　　　　　　　　 其中是因为已作用在梁上的单位力在P1，P2，…作用后引起的位移△上所做的功。 　　如果将P1，P2，…与P0=1共同作用（图11-20c），则梁内弯矩为 ，此时应变能为： 　　　　 　　　　　　　　　　　 此两最后状态的应变能相等，故有：　　　　　　 比较以上诸式，不难得到：　　　　　　　　　　　 　　　　（11-32）此即式（11-28）。  　　【例11-8】 图11-21简单桁架，两杆截面积为A，材料应力-应变关系为：。试求结点B的垂直位移△V。 　　【解】由结点B的平衡条件可解得BD杆的应力、应变 及伸长分别为：,, 同样可求得BE杆的应力，应变及伸长分别为：　 ,, 设B点作用有单位力，则与单位力相应的BD、BE内的轴力分别为：　　　　　　　　， 　　　　　　　　由单位载荷法莫尔积分，得B点的垂直位移为： 　　　 若材料是线弹性的，弹性模量为E，则有： 　　 　　　，，　　　　　　 　　　　　　　 ，，　　　　　　　而单位载荷引起的内力不变，故得：