立体几何线面平行问题.docVIP

一、知识点 1 空间两直线的位置关系（1）相交——有且只有一个公共点；（2）平行——在同一平面内，没有公共点；（3）异面——不在任何一个平面内，没有公共点； 2.公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行 推理模式：． 3.等角定理：若一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，则这两个角相等 4.等角定理的推论:若两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等. 5.空间两条异面直线的画法 6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 推理模式：与是异面直线 7．异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）．为了简便，点通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围： 8．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线 垂直，记作． 9．求异面直线所成的角的方法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线； （2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求 10．两条异面直线的公垂线、距离：和两条异面直线都垂直相交的直线，我们称之为异面直线的公垂线 因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义．有且只有一条异面直线：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线． ，，． 13．线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．推理模式：． 14. 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．推理模式：． 二、基本题型 1．判断题（对的打“√”，错的打“×”） （1）垂直于两条异面直线的直线有且只有一条 （ ） （2）两线段AB、CD不在同一平面内，如果AC=BD，AD=BC，则AB⊥CD（ ） （3）在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为60o （ ） （4）四边形的一边不可能既和它的邻边垂直，又和它的对边垂直 （ ） 2．右图是正方体平面展开图，在这个正方体中 ①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60o角； ④DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是 （ ） （A）①②③ （B）②④ （C）③④ （D）②③④ 3．已知空间四边形ABCD.(1)求证：对角线AC与BD是异面直线;(2)若AC⊥BD,E,F,G,H分别这四条边AB,BC,CD,DA的中点,试判断四边形EFGH的形状;(3)若AB＝BC＝CD＝DA,作出异面直线AC与BD的公垂线段.翰林汇 4．完成下列证明，已知直线a、b、c不共面，它们相交于点P，A(a，D(a，B(b，E(c求证：BD和AE是异面直线 证明：假设__ 共面于(，则点A、E、B、D都在平面__内 (A(a，D(a，∴__(γ. (P(a，∴P(__. (P(b，B(b，P(c，E(c ∴__((，__((，这与____矛盾 ∴BD、AE__________ 5 已知分别是空间四边形四条边的中点，（1）求证四边形是平行四边形（2）若AC⊥BD时，求证：为矩形；（3）若BD=2，AC=6，求；（4）若AC、BD成30o角，AC=6，BD=4，求四边形的面积；（5）若AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，求AC与BD间的距离. 6 空间四边形中，，分别是的中点，，求异面直线所成的角 7. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求(1)A1B与B1D1所成角;(2)AC与BD1所成角.翰林汇翰林汇 8．在长方体中，已知AB=a，BC=b，=c(a＞b)，求异面直线与AC所成角的余弦值 9．如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的中点（1）求证：平面；（2）若，， 求异面直线与所成的角的大小 10．如图,正方形与不在同一平面内,、分别在、上，且 求证：平面 参考答案： 1.（1）× （2）× （3）√ （4）× 2. C 3. 证明：(1)∵ABCD是空间四边形,∴A点不在平面BCD上,而C平面BCD, ∴AC过平面BCD外一点A与平面BCD内一点C, 又∵BD平面BCD,且CBD.∴AC与BD是异面直线. (2)解如图,∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF//AC,且EF=AC. 同理HG//AC,且HG=AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四边形. 又∵F,G分别为BC,CD的中点,∴FG//BD,∴∠EFG是异面直线AC与BD所成的角. ∵AC⊥