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数学分析（二）试卷13 叙述题：（每小题5分，共15分） 正交多项式 正项级数的比较判别法 Rn上的基本列 计算题：（每小题7分，共35分） 1、 2、计算 的cauchy主值 3、求的收敛半径和收敛域 4、设，求函数的梯度 5、求在（1，1，1）点的全微分 讨论与验证题：（每小题10分，共30分） 讨论，（x，y）沿任何直线趋于（0，0）时的极限和函数的二重极限 讨论的敛散性 3、讨论函数项的一致收敛性。 证明题：（每小题10分，共20分） 证明Riemann函数在[0，1]上可积 设，证明它满足方程 参考答案 一、1、设是定义在上的多项式，若对任意的和，，在上可积，且有则称是上的正交多项式连续。 2、设是两个正项级数，若存在常数，成立则（1）当收敛时，也收敛（2）当发散时，也发散 3、如果上的点列满足：对于任意给定的，存在正整数对任意的，成立，则称为基本列。 二、1、（7分） 2、解：（7分） ：，收敛半径为1/3（4分），由于时，级数收敛，级数发散，所以级数的收敛域为（3分） 4、：==（4分）（3分） （4分） （3分） 三、1、解、由于沿趋于（0，0）时，，，而沿趋于 （0，0）时极限为0，所以重极限不存在（5分） 函数非负递减，（3分）且，（5分） 由此仅，收敛（2分）。 3、（3分），取，所以函数列不一致收敛（7分） 四、证明题（每小题10分，共20分） 证明：由Riemann函数的性质，在[0,1]上使得的点至多只有有限个,(3分）不妨设是k个，记为作[0,1]的分点，使满足，由于，而在右边的第一个和式中，有且，在第二个和式中有且，因此得到，所以函数可积（7分） 证明：，（6分）（4分） 2