《2007年硕士研究生入学考试(数学三)试题及答案解析》.doc

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2007年硕士研究生入学考试(数学三)试题及答案解析 一、选择题(本题共10分小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在后边的括号内) 当时,与等价的无穷小量是(B) . 设函数在处连续,下列命题错误的是: (D) .若存在,则 若存在,则 .若存在,则存在 若存在,则存在 如图.连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间上图形分别是直径为2的上、下半圆周,设则下列结论正确的是:(C ) . 设函数连续,则二次积分等于(B) 设某商品的需求函数为,其中,分别表示需要量和价格,如果该商品需求弹性的绝对值等于1,则商品的价格是(D) 10 20 30 40 曲线渐近线的条数为(D) 0 1 2 3 (7)设向量组线性无关,则下列向量组线相关的是 (A) (A) (B) (C) (D) (8)设矩阵,则A与B(B) (A)合同,且相似 (B) 合同,但不相似 (C) 不合同,但相似 (D) 既不合同,也不相似 (9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 (C) (10) 设随机变量服从二维正态分布,且与不相关,分别表示X, Y的概率密度,则在条件下,的条件概率密度为 (A) (A) (B) (C) (D) 二、填空题:11-16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上 (11). (12)设函数,则. (13)设是二元可微函数,则. (14)微分方程满足的特解为. (15)设距阵则的秩为__1___. (16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于的概率为__. 三、解答题:17-24小题,共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)(本题满分10分) 设函数由方程确定,试判断曲线在点(1,1)附近的凹凸性. 【详解】: (18)(本题满分11分) 设二元函数 计算二重积分其中 【详解】:积分区域D如图,不难发现D分别关于x轴和y轴对称,设是D在第一象限中的部分,即 利用被积函数无论关于x轴还是关于y轴对称,从而按二重积分的简化计算法则可得 设,其中 于是 由于,故 为计算上的二重积分,可引入极坐标满足.在极坐标系中的方程是的方程是, ,因而 ,故 令作换元,则,于是且 ,代入即得 综合以上计算结果可知 (19)(本题满分11分) 设函数,在上内二阶可导且存在相等的最大值,又=,=,证明: (Ⅰ)存在使得; (Ⅱ)存在使得 【详解】:证明:(1)设在内某点同时取得最大值,则,此时的c就是所求点.若两个函数取得最大值的点不同则有设故有,由介值定理,在内肯定存在 (2)由(1)和罗尔定理在区间内分别存在一点=0在区间内再用罗尔定理,即. (20)(本题满分10分) 将函数展开成的幂级数,并指出其收敛区间. 【详解】: 【详解】:因为方程组(1)、(2)有公共解,即由方程组(1)、(2)组成的方程组 的解. 即距阵方程组(3)有解的充要条件为. 当时,方程组(3)等价于方程组(1)即此时的公共解为方程组(1)的解.解方程组(1)的基础解系为此时的公共解为: 当时,方程组(3)的系数距阵为此时方程组(3)的解为,即公共解为: (22)(本题满分11分) 设3阶实对称矩阵A的特征值是A的属于的一个特征向量.记,其中E为3阶单位矩阵. (Ⅰ)验证是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量; (Ⅱ)求矩阵B. (Ⅰ),于是 于是是矩阵B的特征向量, 所以B的全部特征值为-2,1,1. 前面已经求得为B的属于-2的特征值,而A为实对称矩阵, 于是根据B与A的关系可以知道B也是实对称矩阵,于是属于不同的特征值的特征向量正交,设B的属于1的特征向量为,所以有方程如下: 于是求得B的属于1的特征向量为 因而,矩阵B属于的特征向量是是,其中是不为

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