2007年北京大学数学分析考研试题及解答.doc

PAGE  PAGE 35 2007年北京大学数学分析考研试题及解答 例5.3.39 设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 的实根， 求证： SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 。 证明 （1）任意 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时，有 SKIPIF 1 0 ； 当 SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 充分大时，有 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 的根 SKIPIF 1 0 存在， 又 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 严格递增，所以根唯一， SKIPIF 1 0 。 任意 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 的根 SKIPIF 1 0 ，（ SKIPIF 1 0 ）。 因为若 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 的根， SKIPIF 1 0 不趋向于 SKIPIF 1 0 。 则存在 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 中含有 SKIPIF 1 0 的一个无穷子列，从而存在收敛子列 SKIPIF 1 0 ，（ SKIPIF 1 0 为某有限数 SKIPIF 1 0 ）；  SKIPIF 1 0 ，矛盾。 例、 设 SKIPIF 1 0 ，讨论级数 SKIPIF 1 0 的收敛性。 解 显然当 SKIPIF 1 0 时，级数 SKIPIF 1 0 发散； 由  SKIPIF 1 0  SKIPIF 1 0   SKIPIF 1 0 ， 得 SKIPIF 1 0 ，（ SKIPIF 1 0 充分小）， 于是 SKIPIF 1 0 ，（ SKIPIF 1 0 充分大） 当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 收敛，  SKIPIF 1 0 收敛， SKIPIF 1 0 ，  SKIPIF 1 0 收敛， SKIPIF 1 0 绝对收敛； 当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 收敛， SKIPIF 1 0 收敛， 于是 SKIPIF 1 0 收敛，从而 SKIPIF 1 0 收敛， SKIPIF 1 0 收敛， 而 SKIPIF 1 0 发散，由 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 发散，所以 SKIPIF 1 0 发散， 故此时 SKIPIF 1 0 条件收敛。 当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 发散，而 SKIPIF 1 0 收敛，此时 SKIPIF 1 0 发散。 北京大学2007年数学分析考研试题及解答 1、 用有限覆盖定理证明连续函数的介值定理。