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2011-2012秋季学期《数学模型》课程论文 题目：种群增长的Gompertz模型 学院：数学科学学院 年级：2009级 专业：数学与应用专业 姓名：邝青青 学号任课教师：赵治涛 评卷教师填写页 数学模型课程总成绩表 课程论文（50%） 实验报告（30%） 平时成绩（20%） 总成绩100分 评卷人 摘要 根据题目要求，在渔场鱼量的自然生长服从种族增长规律Gompertz模型的情况下，建立捕捞情况下渔场产量模型。根据模型，对渔场鱼量的平衡点及其稳定性进行讨论，在稳定条件下，使用图解法求最大持续产量及获得最大产量的捕捞强度和渔场鱼量水平。 关键词：模型 稳定性模型 图解法 1、问题复述 与Logistic模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz模型：，其中和的意义与Logistic模型相同。 设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为.讨论渔场鱼量的平衡点及稳定性，求最大持续产量及获得最大产量的捕捞强度和渔场鱼量水平。 2、模型分析 无捕捞时鱼的自然增长服从 Gompertz规律 （1） r~固有增长率, N~最大鱼量 单位时间捕捞量(即产量)与渔场鱼量成正比，即 （2） (3) 3、建立模型 在捕捞情况下，渔场鱼量的自然增长服从 一阶微分方程的平衡点及其稳定性 F(x)=0的根，即是微分方程的平衡点，解(2)得： (4) 设x(t)是方程的解，若从 某邻域的任一初值出发，都有，称是方程(3)的稳定平衡点，由此可验证不是平衡点。 不求, 判断稳定性的方法——直接法 ，，故点稳定。 渔场鱼量稳定前提下持续产量最大问题的讨论:对F(x)求导，得，令，解得，故有最大值，其值为 (5) 作图，根据(1)、(2)式作曲线和直线，得到如下图形 所以，存在与有交点的情况，令交点为，则点得横坐标就是稳定平衡点。 根据题中条件，点的纵坐标为稳定条件下单位时间的持续产量. 由图形知道，当与在抛物线顶点Pm相交时可获得最大的持续产量，此时的稳定平衡点为 （6） 且单位时间的最大持续产量为 （7） 则不难求出保持渔场鱼量稳定在的捕捞率为 （8） 4、模型优缺点分析及改进方向 根据上述模型所建立的捕捞情况下渔场产量模型，可以很好的解决如何控制捕捞使持续产量达到最大的问题。然而，建模过程中，简化了许多因素，因而与实际情况有偏差。要想建立更好的产量模型，必须综合多方面因素，根据实际情况建立模型。 参考文献 姜启源 谢金星 叶俊 编 数学模型（第三版）。北京：高等教育出版社，2006 附录： E=0.4;r=0.64;N=1000; x=linspace(1,1000,1000); y=r*x.*log(N./x); h=E*x; xlabel(Variable X); ylabel(Y ); plot(x,y,k,x,h) gtext(y=h(x)=Ex); gtext(y=f(x)); gtext(p); grid hold on y1=r*x; plot(x,y1) gtext(Pm); gtext(y1=rx);