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第5章 直线与平面及两平面的相对位置 5. 1 平行问题 5. 2 相交问题 基本要求 5. 1 平行问题 [例2] 试判断两平面是否平行 [例4] 试判断两平面是否平行。 5. 2 相交问题 5.2.1 特殊位置线面相交 1. 直线与特殊位置平面相交 2. 判断直线的可见性 5.2.2 一般位置平面与特殊位置 平面相交 1. 求交线 a b c d e f c? f? d? b? e? a? m?(n?) ● 例：求两平面的交线 MN并判别可见性。 ⑴ 空间及投影分析： ① 求交线 ② 判别可见性 从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。 m ● n ● 平面ABC与DEF都为 正垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂直于OX轴。 还可通过重影点 判别可见性 * * （一）平行问题 1．熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件； 2．熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法。 （二）相交问题 1．熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。 2．熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、面相交求交线的作图方法。 3．掌握利用重影点判别投影可见性的方法。 。 直线与平面平行 两平面平行 ⒈ 直线与平面平行 b B a A P 若：AB∥ab 则：AB∥P 若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。这是解决直线与平面平行作图问题的依据。 几何条件： 有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行；作直线与已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。 f g? f? g 结论：直线AB不平行于定平面 [例1] 试判断直线AB是否平行于定平面 n? ● ● a? c? b? m? a b c m n [例2] 过M点作直线MN平行于平面ABC。 有无数解 d? d X 正平线 [例3] 过M点作直线MN平行于V面和 平面 ABC。 唯一解 c? ● ● b? a? m? a b c m n n? d? d X b? a? a f? f b [例4] 试过点K作水平线AB平行于ΔCDE平面 直线与特殊位置平面平行 当平面为投影面的垂直面时，只要平面有积聚性的投影和直线的同面投影平行，或直线也为该投影面的垂线，则直线与平面必定平行。 ⒉ 两平面平行 若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二直线对应平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依据。 判别两已知平面是否相互平行；过一点作一平面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面的所缺投影。 几何条件： 两平面平行的作图问题有： 两平面平行 ① 若一平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。 Ⅰ Ⅱ Ⅲ AB∥ⅠⅡ；AC∥ⅠⅢ； 则：P∥Q ② 若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。 两特殊位置平面平行 c? f? b? d? e? a? a b c d e f X f? g? a b c d e f g a? b? c? d? e? X 两特殊位置平面平行 两一般位置平面平行 a c e b b? a? d? d f c? f? e? k h k? h? O X m? m 由于ek不平行于ac,故两平面不平行。 [例1] 判断平面ABDC与平面EFHM是否平行， 已知AB∥CD∥EF∥MH m? n? m n r? r s s? 结论：两平面平行 e m? n? m n f? e? f s r? s? r k? k [例3] 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过 点K作一平面平行于已知平面 。 结论：因为PH平行SH，所以两平面平行 直线与平面相交 两平面相交 直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。 1. 直线与平面相交 要讨论的问题： (1) 求直线与平面的交点。 (2) 判别两者之间的相互遮 挡关系，即判别可见性。 我们将讨论直线与平面至少有一个处于特殊位置的情况。 ● ● 2. 两平面相交 两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。 要讨论的问题： ① 求两平面的交线 方法： ⑴ 确定两平面的两个共有点。 ⑵ 确定一个共有点及交线的方向。 ② 判别两平面之间的相互遮挡关系，即：