2008年天津大学生数学竞赛.doc

2008年天津市大学数学竞赛试题 （理工类） 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。） 设f (0)0，，则 1 。 设函数由方程所确定，则曲线上对应于x = 0点处的切线方程为。 。 函数在点M (1,1,1,)处，沿曲面在该点的外法线方向的方向导数。 设函数在区域上具有连续的二阶偏导数，C为顺时针椭圆，则。 二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。） 1. 设当时，是比高阶的无穷小，而是比高阶的无穷小，则n等于（ B ） （A）4； （B）3； （C）2； （D）1。 2. 设是单调增的正数列， 则数列（ A ） （A）当时收敛； （B）当时收敛； （C）对任意均收敛； （D）对任意均发散。 3. 设，则函数在点a处必（ D ） （A）取极大值； （B）取极小值； （C）可导； （D）不可导。 4. 设函数在点处有，则下列结论正确的是（ D ） （A）存在，但在点处不连续； （B）在点处连续； （C）； （D）都存在，且相等。 5.设S为球面：，其取外侧为，则两个曲面积分全为零的是（ C ） （A）； （B）； （C）； （D）。 三、对t的不同取值，讨论函数在区间上是否有最大值或最小值，若存在最大值或最小值，求出相应的最大值点与最大值或最小值点与最小值。（本题7分） 解：显然的定义域为：， ，得驻点：。 于是有 x －2 1 － 0 ＋ ＋ ＋ 0 － y ↘ 极小值 ↗ 0 ↗ 极大值1 ↘ 又：。 记：与分别表示在区间上的最大值与最小值。 从上表不难看出： ① 时，； ② 时，； ③ 时，无，； ④ 时，无，。 四、设，其中，讨论函数在区间内零点的个数。（本题7分） 解：， 。 注意到：当时，，故方程与方程 同解。 命：，。又： 。 由闭区间上连续函数零点定理知，在区间内至少有一个零点。又 ， 即在区间内单调减，所以在区间内至多有一个零点，从而函数在区间内有且仅有一个零点。 五、过曲线上点A作切线，使该切线与曲线及x轴所围平面图形D的面积。 ⑴ 求点A的坐标； ⑵ 求平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。（本题7分） 解：⑴ 设A点坐标为，则切线方程为：，即。 命：y = 0，得此切线与x轴的交点横坐标，从而图形D的面积为 。 。即A点的坐标为(1,1)。 ⑵ 平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为： 。 六、设函数，其中是连续函数，且。 ⑴ 求； ⑵ 讨论的连续性。（本题7分） 解：，由已知得。 ⑴ 当时，有 在点处，由导数定义有 所以 ⑵ 因为 ， 故在点处连续；又当时，连续，所以处处连续。 七、设函数在闭区间上具有连续的导数，，且。 ⑴ 求； ⑵ 证明。（本题7分） ⑴ 解：。 ⑵ 证明：令， 因对任何实数λ，被积函数≥0，故，所以其判别式 ， 即。 八、设二元函数具有二阶连续偏导数，证明：可经过变量替换化为等式。（本题6分） 证明：由题意可解得，从而。 ， ， 故，即。 九、求λ的值，使两曲面：与在第一卦限内相切，并求出在切点处两曲面的公共切平面方程。（本题8分） 解：曲面在点处切平面的法向量为。 曲面在点处切平面的法向量为。 欲使两曲面在点处相切，必须，即。 由，得，即。 于是有，解得。 公共切平面方程为，化简得。 十、计算三重积分，其中Ω是由yoz平面内z = 0，z = 2以及曲线所围成的平面区域绕z轴旋转而成的空间区域。（本题7分） 解：由题设知，区域Ω是由旋转面与平面z = 0，z = 2所围成。用与z轴垂直的平面截立体Ω，设截面为，于是 。 显然是圆域，圆心为，半径为。 所以。 十一、计算曲线积分，其中曲线C：是从点A(－1,0)到点B(1,0)的一条不经过坐标原点的光滑曲线。（本题8分） 解：，。 作上半圆，，逆时针方向，取r充分小使C1位与曲线C的下部且二者不相交。又在x轴上分别取1到r与－r到－1两个线段l1与l2，于是有 ，其中D是由所围成的区域。 从而， 十二、求证。（本题6分） 证明：记，则。 注意到：，故； 同理：， 开方得：，即。 6