111常数项级数的概念和性质.ppt

* 无穷级数是微积分的一个不可缺少的部分，是高等数学的重要内容，同时也是有力的数学工具，在表示函数、研究函数性质等方面有巨大作用，在自然科学和工程技术领域有着广泛的应用 本章主要内容包括常数项级数和两类重要的函数项级数——幂级数和三角级数，主要围绕三个问题展开讨论：①级数的收敛性判定问题，②把已知函数表示成级数问题，③级数求和问题。 第十一章 无穷级数 一、常数项级数的概念 1. 计算圆的面积 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 形的面积 §11.1 常数项级数的概念和性质 问题的提出 3.常数项无穷级数的概念 其中第 项 叫做级数的一般项。 一般地，如果给定一个数列 则由这数列构成的表达式 叫做（常数项）无穷级数，记为 即 4.(常数项)无穷级数的部分和 令 这样所得到的数列 叫做级数的部分和数列, 叫做级 数的部分和 5.级数收敛的概念 当级数收敛时，称 为级数的余项，这时 为近似值产生的误差 叫做这级数的和；如果 没有极限，则称无穷级数 定义 如果级数 的部分和数列 有极限 , 即 则称无穷级数 收敛，这时极限 发散。 解 收敛 发散 发散 发散 综上 解 例3 证明级数 是发散的。 二、收敛级数的基本性质 结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变. 结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减. 证明 类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性. 事实上，对级数 任意加括号 若记 则加括号后级数成为 记 的部分和为 的部分和记为 注意 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. 收敛 发散 则 由数列和子数列的关系知 必定存在 且 存在， 证明 如果级数 收敛，则它的一般项趋于零，即 性质5（级数收敛的必要条件） 注 1）级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件。 2）若 ，则级数 发散。 3）若 ，则级数 不一定收敛。 注意 1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散; 发散 2.必要条件不充分. 由性质4推论,调和级数发散. 小结 常数项级数的基本概念 基本审敛法 §11.2 常数项级数的审敛法 在研究级数时，中心问题是判定级数的敛散性，如果级数是收敛的，就可以对它进行某些运算，并设法求出它的和或和的近似值。但是除了少数几个特殊的级数，在一般情况下，直接考察级数的部分和是否有极限是很困难的，因而直接由定义来判定级数的敛散性往往不可行，这就要借助一些间接的方法来判定级数的敛散性，这些方法称为审敛法 对常数项级数将分为正项级数和任意项级数来讨论 一、正项级数及其审敛法 1. 正项级数概念 各项都是正数或零的级数称为正项级数. 2. 正项级数的基本定理 定理1 正项级数收敛的充要条件是它的部分和数 列有界。 结论:正项级数的部分和数列有界, 则正项级数一定 收敛; 反之, 若正项级数的部分和数列无界, 则 正项级数一定发散. *