高等数学上总复习2012年.ppt

27.设 单调减少的连续函数，证明 证明: 令 28. 求曲线 的最小曲率半径。 解 由驻点的唯一性及实际问题最小值存在性知，在 处 29.一质点沿抛物线 运动，其横坐标随 变化的规律为 ，求该质点的纵坐标在点 处的变化率. 所以 时间 解: 因为 （统考） 30.证明：当 时， 证明: 设 （惟一驻点） 为极小值，也是最小值，即 （统考） 31.试问 为何值时，函数 在 解　 所以 所以 为极大值。 处具有极值？ 并求极值. （统考） 一、计算积分的方法 1、直接积分法 2、换元积分法 第一类换元积分（凑微分法） 第二类换元积分（变量代换法） 3、分部积分法 （反、对、幂、指、三） 二、微积分基本定理间的关系 积分中值定理 微分中值定理 牛 - 莱公式 (1) 熟记三角公式及万能代换 (2) (4) (3) 奇偶讨论 若 是以T为周期的连续函数， 是任意常数，则 三、常用的公式 2． 计算 解： 3.求 解 4.计算 解 原式 5. 解： * 高等数学(上)总复习 2012年1月 极限 1、重要的极限 或 或 2、常用的等价无穷小 解： 2.讨论 解 因为 所以 统考 3.计算数列极限 解 4.设 补充定义 为何值，使 处连续. 在 解 .因为 所以补充定义 之后,可使 在 连续. 5．求 解：当 时， 则原式 6.计算 解：原式 7. 解 8. 解 9. 设 连续, 求 解: 原式 = 10. 设 连续 确定常数 解： 连续， 在[ 0, 2a ]上至少存在一点 证 令 在 上连续。 由闭区间上连续函数的零点定理可知： 证明在 上至少存在一点 11.设 在 上连续，且 证明存在一点 证 令 若 若 则 使 即 12 .设 在 上连续，且 一、计算导数的方法及常见的题型 (1)利用导数的定义 适用于分段函数 (2)利用导数公式和求导法则 要求： 基本的公式表 导数与微分的四则运算 复合函数求导法则 隐函数的求导法则 参数方程求导 (3)利用对数求导法 (4)高阶导数的求法 微分学 二、微分中值定理 共性：函数满足一定条件时，在给定的开区间内 至少存在一点(中值)，使得函数在该点的导数具有 某种性质 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒中值定理 三、导数的应用 1、导数的几何应用 讨论单调性、 极值、 凸凹性、 拐点、 渐近线、 描述函数的性态、 2、证明不等式或恒等式 曲率、 相关变化率 15. 求下列函数的导数 解 2)．由 确定函数 ,求 解 将 得 ,方程两边对 求导 代入方程 将 代入上式得 16. 设函数 由参数方程 确定，求 解　 求下列函数的导数 解: 20 判定 在 处可导性 解： 故 在 处可导 求 解 由题意可知 21 设 具有连续的二阶导数， 22. 设 当 时， 求 与 的值 解：方法一 （隐函数求导） 等式两边同时对 求导 等式两边同时对 再求导 方法二 （反函数求导） 略 23. 在[0，2]上连续，在(0,2)内二阶可导，且 ,求证：至少存在一点 使 证明:因为 在[0,2]上连续,在(0,2)内二阶可导 在 满足Rolle定理条件,则存在 使 且 又因为 由积分中值定理，存在 使 ， 满足Rolle定理条件，则存在 使 在 由于 在 上满足Rolle定理条件，所以至少存在一点 使 24 设 在 上连续， 在 内可导， 其中 且 证在 内存在 ， 使 分析： 积分 令 若 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且 证明：在(0,1)内至少有一点 ，使 25 证明：设 显然 在 上连续，在 内可导，且 由零点定理知存在 使 由 在 上应用罗尔定理知，至少存在一点 使 即 当 时 内有唯一实根。 上连续，在 内可导，且 证：由拉氏中值定理 又 故有根，又 故有唯一的一个根。 试证方程 在 26. 设函数 在