第八章2偏导数.ppt

* 偏 导 数 我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函数同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自变量的变化率，因此这种变化率依然是一元函数的变化率问题，这就是偏导数概念，对此给出如下定义。 一、偏导数的定义及其计算法 偏导数的求法 由偏导数的定义可知，求二元函数的偏导数并不需要新的方法 求 时把 y 视为常数而对 x 求导 求 时把 x 视为常数而对 y 求导 这仍然是一元函数求导问题 如 在 处 偏导数的概念可以推广到二元以上函数 一般地 设 解 证 原结论成立． 解 不存在． 证 有关偏导数的几点说明： １、 ２、 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求； 计算 f x (x0 ,y0 ) 时可先将 y = y0 代入 f (x ,y ) 再对 x 求导然后代入 x = x0 计算 f y (x0 ,y0 ) 时同理 解 3、 4、 偏导数的实质仍是一元函数求导问题，具体求导时要弄清是对哪个变量求导，其余均视为常量，但由于变量较多，易产生混乱-——重要的是区分清函数的类型——这是出错的主要原因。 5、 若 f( x , y ) =f( y , x ) 则称 f( x , y ) 关于 x , y 具有轮换对称性 在求 时 只需将所求的 中的 x , y 互换即可 6、偏导数存在与连续的关系 一元函数中在某点可导 连续， 多元函数中在某点偏导数存在 连续， 但函数在该点处并不连续. 偏导数存在 连续. 7、偏导数的几何意义 如图 几何意义: 二、高阶偏导数 纯偏导 混合偏导 定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系： 原函数图形 偏导函数图形 偏导函数图形 二阶混合偏导函数图形 解 问题： 混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？ 解