工程数学湘潭大学第十章.docVIP

习题三 箱子里装有12只开关，其中只有2 只次品，从箱中随机地取两次，每次取一只，且设随机变量X，Y为 试就放回抽样与不放回抽样两种情况，写出X与Y的联合分布律. 解：先考虑放回抽样的情况： 则此种情况下，X与Y的联合分布律为 X Y 0 1 0 1 再考虑不放回抽样的情况 X Y 0 1 0 1 将一硬币连掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示在三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出（X,Y）的联合分布律及边缘分布律. 解：由已知可得：X的取值可能为0，1，2，3；Y的取值可能为1，3；则由硬币出现正面和反面的概率各为，可知 X Y 0 1 2 3 0 3 0 0 0 1 把三个球随机地投入三个盒子中去，每个球投入各个盒子的可能性是相同的，设随机变量X与Y分别表示投入第一个及第二个盒子中的球的个数，求二维随机变量(X,Y)的概率分布及边缘分布. 解：由已知可得：X的取值可能为0，1，2，3；Y的取值可能为0，1，2，3；则 ， ， ， ， 则二维随机变量（X,Y）的概率分布及边缘分布为 X Y 0 1 2 3 0 1 2 3 0 0 0 0 0 0 1 设(X,Y)的概率密度为 求： P﹛(x,y)∈D﹜, 其中D=﹛(x,y)|x1,y3﹜; P﹛(x,y)∈D﹜, 其中D=﹛(x,y)|x+y3﹜. 解：（1） ∵D={(x,y)|x1,y3} ∴ （2） ∵D={(x,y)|x+y3} ∴ 5. 设(X,Y)的概率密度为 求： 系数c； (X,Y)落在圆内的概率. 解：（1） 由，得 ，可求得 （2） 设，则 已知随机变量X和Y的联合概率密度为 求X和Y的联合分布函数. 解：∵随机变量X和Y的联合概率密度为 ∴当x0,或y0时，F(x,y)=0; 当时， 当时， 当时， 当时， 综上可得，X和Y的联合分布函数为 7. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 求常数k； 求 P﹛0x2,1y≤3﹜; 求X,Y的边缘概率密度； 判断X与Y是否相互独立. 解：（1） 由概率密度的性质有 即 ，有 (2) (3) X的边缘概率密度为 ∴当0≤x6时， 当x0或x≥6时，显然有 Y的边缘概率密度为 ∴当0y6时， 当y≤0或x≥6时，显然有 (4) X与Y不相互独立. 8．已知随机变量X1和X2的概率分布为 X1 -1 0 1 P X2 0 1 而且P{X1X2=0}=1. (1) 求X1和X2的联合分布； (2) 问X1和X2是否独立？为什么？ 解：由,可知必然成立. 由得 同理可得：， 而综上可得，和的联合分布为 X1 X2 -1 0 1 0 1 0 0 1 （2） 可知和不独立. 9. 设随机变量X与Y相互独立，且都服从 上的均匀分布，求方程 有实根的概率. 解：方程有实根的充要条件是， 由于随机变量X与Y相互独立，所以随机变量（X，Y）的联合概率密度为 下面分两种情况讨论： （1）当时，如图 (2) 当时，如图 综上可得：方程 有实根的概率为 另解：方程有实根的充要条件是 令 则当x0时则当0≤x≤b2时 由于X与Y都服从上的均匀分布，即其密度函数各为 当0≤x≤b2时， 当xb2时显然有 ∴Z1的概率密度函数为 而当 当-4bx4b时， 当x≤-4b时， ∴Z2的概率密度函数为 又由于随机变量X与Y相互独立，∴Z1 和Z2也相互独立. 又设Z= Z1 +Z2 而 ∵b0,而当z≤-4b，时，