导数的定义与意义.ppt

课题五、导数定义和意义 引例1：瞬间速度问题 设变速直线运动物体的运动方程为s=s(t),现求时刻 t0的瞬间速度? 现以自由落体运动为例:(右图) 已知 ,求t=2秒时的速度? 思路:( ) (1)先求时段 的平均速度; 即 (2)再求瞬间速度(极限法): 令 时 ,平均速度变成瞬间速度,即 课题五、导数定义和意义 直观分析瞬间速度(数值计算) 随着 越来越接近0,观察平均速度 的变化趋势 由 列出下表: 从表中可见: 当 时 ,平均速度越来越接近瞬间速度20, 即t=2的瞬间速度为20; 课题五、导数定义和意义 引例2：曲线的切线问题 明确:(1)什么是切线? (2)如何求切线? 如图所示 说明:(1)x0点的切线为AC,它是割线绕定点A旋转而成; (2)切线AC的斜率为割线AB的斜率的极限。即： 课题五、导数定义和意义 导数的定义：设y=f(x)在x0点及附近有定义,当自变量x 在x0有增量 时,相应函数增量为 ,若 存在,则称这个极限值为函数y=f(x)在x0点导数. 记为 即: 注意：根据导数的定义有如下说明: (1)函数的导数是一种特殊极限,它是指函数的变化率; (2)若函数在某区间(a,b)内每点都可导,称函数在区间(a,b)内可导,此时称 为导函数,简称导数. (3)函数在某点可导的充要条件:左右导数存在且相等. 课题五、导数定义和意义 导数的意义：设y=f(x)在x=x0处可导,则 (1)若f(x)为曲线,则f’(x0)表示点(x0,f(x0))处的切线斜率; (2)若f(x)为路程,则f’(x0)表示时刻x0的瞬时速度; (3)若f(x)为经济函数,则f’(x0)表示产量x0的边际函数. 以上是导数在几何,物理,经济上的意义. 练习: (1)求曲线 在点(1,2)处切线方程? (2)设物体的运动规律: ,求t=2时的速度? (3)已知某产品的成本函数 (x为产量),求x=10的边际成本? (4)已知 课题五、导数定义和意义 练习解析： (1)解： 由导数的几何意义，切线斜率为：k=f’(1)=2 由点斜式得切线方程： (2)解： 由导数的物理意义得： t=2的速度为： (4)解:由导数的定义： 课题五、导数定义和意义 可导与连续的关系 可导一定连续，反之结论不成立。 如 在x=0处连续，但不可导。 如图所示. 直观解释:(1)函数连续指曲线在其定义区间内连绵不断； （2）函数可导指曲线在其定义区间内不仅连绵不断，且具有光滑性(即无尖点、折点等). 课题五、导数定义和意义 不可导函数类型及图示 （1）不连续点不可导 （2）尖点不可导（无切线） （3）竖直切线处不可导（有切线） * * 主页 下页 t=2 t=0 上页 下页 t=2 t=0 上页 下页 x 0 y x0 A B C B 上页 下页 上页 下页 上页 下页 上页 下页 x y 0 x 0 y 上页 主页 x y 0 x 0 y 0 x y x y 0 1