第三章量子力学中的对称性和角动量.doc

量子力学中的对称性和角动量 §3.1 引言 从经典物理知道，自然界存在各种守恒定律如能量守恒、动量守恒、角动量守恒等。为什么会这样？ 从形式上看，守恒定律是运动方程的结果，因为它可以从运动方程导出。但是，从本质上看，守恒定律也许比运动方程更为基本，因为它表达了自然界的一些普遍法则，支配着自然界的所有过程。反过来，也可以认为运动方程实际上受着守恒定律的限制。 为什么会有守恒定律？守恒定律存在的深刻根源在于自然界存在着普适的对称性。 运动过程的所有特征，实际上都已经隐含在运动方程之中，对称与守恒的研究，只是使运动过程本来就具有的那些特征更加显现出来，但它并不能给出超出运动方程的结果。 经典力学中，Hamiltonian决定了体系的运动规律，看H是否对于某一种变换不变，则体系在变换前后的运动规律也保持不变。----守恒量。 --表示u是一个运动常数。 量子力学中， 运动方程为，其中力学量为算符--二者具有共同的本征函数。 Wigner-Weyl实现：态的对称性直接反映了H的对称性。 §3.2 转动态的定义和转动算符 §3.2A 转动态的定义 在经典物理中，转动后坐标的变化为 如果n为z轴，转动角为，则 ------- 在量子力学中，一自旋为0的标量粒子波函数，将它绕空间n轴（z轴）转动一个角度，此操作为作用在波函数上的算符，则。 转动态的定义： ---转动态。 物理上对转动态的要求：如果转动前后中所测得的物理量的关系和经典物理中一致（在下面举几个例子说明），则可称之为转动态。 在坐标系中，为标量函数，存在 和。 现在，证明上式满足转动态的要求。 转动前，平均位置 转动后，平均位置 3.2B 算符的转动 令为转动算符。， 转动前后，物理上要求几率守恒，即保持态归一化： ，则。 即转动算符R为幺正算符，转动变换是一个幺正变换。 物理过程：转动前后平均值不变。 任一算符F的平均值为： 量子力学中，可观察量的转动。 即变换使坐标转过角度，同时使体系的可观察量转过角度为。 3.2C 态的无限小转动---求转动算符的具体形式 态的无限小转动，绕z周的转角为无限小，则 （1）自旋为0的粒子波函数， 推广到任意轴n的微小转动，有 2009-10-14上课内容 （2）自旋为1/2的粒子的波函数。此时，波函数为二分量，记，则体系波函数为，。 绕z轴转动，证明波函数为。 物理过程：在转动态下自旋、位置、动量与原来态满足经典关系，即 ， 当转动角度无限小时，把自旋的变化等同于位置的变化规律，则自旋的三个方向的分量为 此处，定义 从上面的讨论可知，轨道部分波函数变为，， 则总波函数为 则任意轴无限小角度转动算符，， 其中粒子的总角动量算符可以写为 3.2D 态的有限角度转动 绕n轴无限小角度转动算符为， 其中。 绕n轴转过有限角度， 三维空间中的有限转动，。 3.3 角动量的一般性质 角动量算符的三个分量，满足下列对易关系： 定义角动量平方算符为 定义角动量的升降算符， 证明对易关系： 因为，，二者的共同本征态为，有 证明升降算符的物理意义。 由此可得，。 证明： 2009年10月16日星期五上课 为什么重要的是？标记任意转动下的态，要用的本征态。因为，任意转动算符R可以用组合而成，所以只要。 [证明过程]：因为 所以，。 将的本征态标记为，经转动R后，转动态为。 的物理意义：。表明，转动态的全体形成一个不变子空间。该子空间用本征值标记。转动时，态只能在子空间内变化，其中任何态不会因为转动带到子空间之外。 算符的重要意义：将态空间按其本征值自动地分解为转动不变子空间。则关于转动时态的变化问题，就只需在各个不变子空间中加以讨论。 转动子空间为的简并空间，还需一个算符（好量子数）才能解除简并。 记为。 [证明]：从前面的内容可知，。 利用升降算符，则。 现设为的共同本征态，则。且 则。 从本征态出发，得到的一系列本征态： ---必有上限和下限。 计算平均值， 现令， 因为不改变的本征值，所以。 则。 因为，所以。。 因为是角动量算符z方向上的投影，所以m的最大值 以上可知，。 表明，对于同一个j，张成的维简并空间。 §3.7 对称性和守恒律 3.7A 可观察量和不可观察量 有限转动算符是幺正算符，不对应于可观察量。但它的无限小生成元（角动量算符）为可观察量。 态在在旋转作用下不变，即它具有绕z轴的旋转对称性，。 [旋转不变]： 。旋转前后相差一个相因子，不影响波函数的物理结果。 起点： 终点： 若， 上式中，要求为整数 若， 上式中，m为半整数。 2009-10-21上课内容 [从特殊到一般]：体系在某个变换下具有对称性，即 保持几率不变，，，说明Q是一个幺正算符。 保持运动规律不变，，设Q不显含时间，则 和可得体系在Q变换下保持不变性的条件为，。 考虑无限小