实数的基本定理.doc

第三章 关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明 六个基本定理： 1实数戴德德公理 确界原理 2数列的单调有界定理 3区间套定理 4聚点定理 致密性定理 5数列柯西收敛准则 6有限覆盖定理 定理(确界原理) 设为非空数集．若有上界，则S必有上确界；若有下界，则必有下确界． 定理 单调有界数列必收敛. 证明 不妨设为有上界的递增数列．由确界原理，数列有上确界，记．下面证明就是的极限．事实上，任给，按上确界的定义，存在数列中某一项，使得．的递增性，当时有 ．是的一个上界，故对一切都有．所以当时有 ， 即．．是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点，使得，，即 ， （2） 证 由（1）式，为递增有界数列，依单调有界定理，有极限，且有 （3） 同理，递减有界数列也有极限，并按区间套的条件（??）， （4） 且 （5） 联合（3）、（5）即得（2）式。 最后证明满足（2）的是唯一的。设数也满足 则由（2）式有 由区间套的条件（??） ， 故有 由（4）式容易推得如下很有用的区间套性质： 推论 若是区间套所确定的点，则对任给的0，存在N0，使得当N时有 致密性定理 定义2 　设S为数轴上的点集，为定点(它可以属于S，也可以不属S)．的任何邻域内都含有S中无穷多个点，则称为点集S的一个聚点． 等价定义如下： 定义2’ 对于点集S，若点的任何邻域内都含有S中异于的点，即，则称为S的一个聚点． 定义2” 若存在各项互异的收敛数列，则其极限称为S的一个聚点 现证定义2’ 定义2” 设为S(按定义2’)的聚点，则对任给的，存在． 令，则存在； 令，则存在，且显然； 令，则存在，且互异。 无限地重复以上步骤，得到S中各项互异的数列，且由，易见。 下面我们应用区间套定理来证明聚点定理． 定理 (魏尔斯特拉斯(Weierstrass)聚点定理) 实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点． 证 因S为有界点集，故存在，使得，记 现将等分为两个子区间．因S为无限点集，故两个子区间中至少有一个含有S中无穷多个点，记此子区间为，则且 再将等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间含有S中无穷多个点，取出这样的一个子区间，记为，则，且 将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列，它满足 , 即是区间套，且其中每一个闭区间都含有S中无穷多个点． 由区间套定理，存在唯一的一点，．于是由定理5的推论，对任给的，存在，当时有．从而内含有S中无穷多个点，按定义2，为S的一个聚点． 推论(致密性定理) 有界数列必含有收敛子列． 证 设为有界数列．若中有无限多个相等的项，则由这些项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的. 若不含有无限多个相等的项，则其在数轴上对应的点集必为有界无限点集，故由聚点定理，点集至少有一个聚点，记为。则存在的一个收敛子列(以为其极限). 推论 若是一个无界数列，则存在子列。 证明 取界为k ,则存在着一个项之后，则有。（前面有限个项是有界的）。 Cauchy收敛原理 数列收敛 当时，有。 证 充分性 设数列满足柯西条件．先证明是有界的．为此，取则存在正整数N，当m=N+1及nN时有 由此得=.令 M=max 则对一切正整数n均有 于是，由致密性定理，有界数列必有收敛子列设=A．对任给的0，存在K0，当m,n,kK时，同时有 (由柯西条件)， 因而当取m=n()时，得到 这就证明了. (海涅一博雷尔(Heine—Borel)有限覆盖定理) 设H为闭区间的一个(无限)开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖 证 用反证法 假设定理的结论不成立，即不能用中有限个开区间来覆盖． 将等分为两个子区间，则其