§103Green公式.ppt

证明 (1) (2) 证明 (2) (3) 证明 (3) (4) 证明 (4) (1) 练习 1. 设 C 为沿 * 设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域. D 单连通区域 D 复连通区域 一、区域连通性的分类 §10.3 Green 公式 平面区域D的边界曲线L的正向: 当观察者沿边界曲线L的正向行走时, 区域D总在他的左边. L由L1与L2组成 二、Green 公式 定理1: 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成, 函数P(x, y), Q(x, y)在D上具有一阶连续偏导数, 则有 其中L是D的取正向的边界曲线. 公式(1)叫Green公式. (1) 证明(1): 若区域D既是X —型又是Y—型, 即平行于坐标轴的直线穿过区域内部时与边界L至多交于两点. y x o D L c d F E a b A B 同理可证: 则 y x o D L c d F E A B 两式相加得: D L 证明(2): 若区域D由分段光滑的闭曲线L围成. 以如图所示为例. A B C D1 L1 D2 L2 D3 L3 用线段AB, BC将D分成三个既是X—型又是Y—型的区域D1, D2, D3, 其边界分别为CBA+L1, AB+L2和BC+L3. 则 D D L1 L2 L3 A B E F G H 添加直线段AB, EF. 则区域D的正向边界曲线由EHA(L1), AB, L2, BA, AGE(L1), EF, L3及FE构成. 证明(3): 若区域D由不止一条闭曲线所围成, 如图. 则由证明(2)知, (其中L是D的正向边界曲线) (其中L1, L2, L3构成D的正向边界曲线) Green公式的实质: 沟通了沿闭曲线L上的对坐标的曲线积分与由L围成的闭区域 D上的二重积分之间的联系. 格林公式成立的条件： 1）P, Q 在D上具有一阶连续偏导数; 2）L是闭路. 格林公式的应用计算平面面积 例1 求椭圆 所围成图形的面积A. 例2 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明 证: 令 则 利用格林公式 , 得 L l 例3 计算 ， 其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L的方向为逆时针方向.? x y D L D x y o 设平面曲线 取正向，则曲线积分 。（06）解： 练习 解 x y o L y x o (注意格林公式的条件) 例4 计算 其中L是由A(0,一1)沿半圆周 到B(0,1)。 L A(0,一1) B(0,1) x y o 解 利用格林公式，注意L不是闭路, 故加作辅助线：直线BA x y o 如果在区域G内有 y x o G A B 1.曲线积分与路径无关的定义 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 定理2 设开区域G是一个单连通域, 函数P,Q在G内具 有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价: 2. 曲线积分路径无关的条件 (4) 对G 内任意闭曲线C: . (3) ? (x,y) ?G, ; (2)在G内存在u(x,y),使得 (1)在G内曲线积分 与路径无关; 称为Pdx+Qdy的原函数 在D内取定点 因曲线积分 则 同理可证 因此有 和任一点B( x, y ), 与路径无关, 有函数 设存在函数 u ( x , y ) 使得 则 P, Q 在 D 内具有连续的偏导数, 从而在D内每一点都有 设L为D中任一分段光滑闭曲线, (如图) , 利用格林公式 , 得 所围区域为 证毕 说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为 设 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲 线, 则 (根据条件(4)) 注 (1)定理条件: G-----单连通域, P,Q在G内有一阶连续偏导数, (2) 求u(x,y):使得 du=P(x,y) dx+Q(x,y) dy 注意 根据定理2 , 若在某区域内 则