第八章量子多体问题方法及其应用.doc

第八章 量子多体问题方法及其应用 二次量子化的基本概念，正则变换为主的多体理论方法。 §8.1 二次量子化方法 在讨论多体问题时，采用粒子的产生和湮灭算符的方法，------“二次量子化”方法。 8.1A 二次量子化，玻色子和费米子 一次量子化：算符的量子化（经典的力学量到量子力学中的厄密算符）。例如电磁场的量子化。 8.1B 量子光学中的JC模型 举例，一个二能级原子与单模量子化广场作用，耦合Hamiltonian为 ---------跃迁， 式中， 带入Hamiltonian中，得 式中，对于一个模式，，则 此处，采用长波近似，即。则有 又有， 一个电子在原子中的Hamiltonian为， 则。所以， 式中，为“电偶极跃迁矩阵元”。 此时，相互作用的Hamiltonian描述的是：把原子放在一个体积为V的腔中，电子与腔存在的模式为的量子化平面波电磁场发生相互作用，发生从基态到激发态的跃迁。模式中含有的光子数为，吸收过程的初态为，末态为，即。 在中第二项含有一个高频振荡因子，对时间的平均后，通常被忽略，叫做“旋转波近似”。则有 当考虑从激发态向基态跃迁时，，可得 。 当两种跃迁同时存在时，在长波近似和旋转波近似下 。 现在，我们回到起点考虑问题： 矢势为----量子化； 体系Hamiltonian为， 完备性关系，。 对进行处理，即 物理要求，。 则。 形式上，从的跃迁可表示为算符，-----Pauli算符。 若记，则。 类似，。 所以 在坐标表象中考虑问题，，且 基于以上讨论，我们可得 式中， 忽略公式中算符的脚标，即相互作用Hamiltonian为， 。 体系总Hamiltonian为， 式中， 去掉零点能， 旋转波近似下，扔掉上式中的最后两项， -----JC模型。 项描述过程：消灭一个光子，原子发生的跃迁。 项描述过程：产生一个光子，原子发生的跃迁。 上式成立的条件为，。-----旋转波近似 将Hamiltonian作用到上，寻找不变子空间。 过程如下， 上面出现了，将H作用到上， 从上面的过程可知，形成H的一个不变子空间。 以为H的基矢，H可表示为， 可证，为H的本征态， 设初态，解末态 （1）不同基矢的转换， （2）态的演化 （3）在态上的几率， 上式中，当共振时，有，--Rabi振荡。 初始时刻，且光场处于真空态，随时间演化体系处于的几率为，说明此时体系发生的跃迁有光场零点能诱发。 （4）光场处在的几率， 时间演化的密度算符为，。 光场时间演化的约化密度矩阵为， （5）原子处于的几率----。 [Probability amplitude method]：解含时Schrodinger方程， 假设，初态。 §8.2 二次量子化后的Hamiltonian 用标记粒子在体积V内的状态，则粒子在位形空间中的波函数为 这里表示一个粒子处在态。记真空态为，，这种态的表示称为“粒子数表象”。 建立场算符，。 上式中，为动量为的粒子的湮灭算符。 在粒子数表象中，区分玻色子和费米子，需要考察对易关系。 玻色子对易关系，。 费米子对易关系，。 证明场算符满足，，用到。 二粒子态：，在位形空间中的波函数为 式中，正负号对应于玻色子与费米子。----全同粒子交换，波函数的对称和反对称。 [介绍全同粒子的概念，以二粒子为例，说明正负号的来历，服从统计规律。] 若动量是连续的，，Fock态用标记，相应的产生和湮灭算符满足 。 基于以上，N粒子波函数为 玻色子情况：见书p312。 费米子情况：见书p312。 8.2B 自由Hamiltonian和相互作用Hamiltonian 1、费米子自由运动时的动能算符。二次量子化后在粒子数表象中 ----（详细介绍推导过程） 式中，是对粒子一切可能的动量求和。 通常上式可写为。----（无相互作用情况下） 2、费米子与玻色子的相互作用顶角。 3、两个费米子之间的相互作用哈密顿算符。 费米子之间的相互作用唯象地用表示，r描述两个费米间的距离。 二次量子化后，费米子体系的相互作用哈密顿算符定义为， 式中，。则 定义参数，----。 则 另外， 基于以上结果，可得 定义------动量守恒，和则有 §8.4 液氦的超流理论 8.4A Bogoliubov的正则变换 把原子看作是彼此间有微弱排斥力相互作用的全同玻色子，则体系的总Hamiltonian为 考虑原子间为短程力，最简单的模型为，则。 在低温下，出现BEC，在零动量态凝聚的粒子数是一个大量，取，则基态为零动量粒子凝聚的“相干态”，满足。 将上面的相互作用哈密顿量简化，保留到的级别， 式中求和不包括的项，则 这里，为达到对角化的目的，定义算符的变换。即， ---这里，为待定的实系数。 对易关系要求。这种变换叫做“正则变换”。 同时，代入Hamilt