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第2章 控制系统的数学模型 引言 定义： 控制系统的输入和输出之间动态关系的数学表达式即为数学模型。 用途： 1）分析实际系统 2）预测物理量 3）设计控制系统 建立方法： 1）分析法 2）实验法 表达形式 时域：微分方程、差分方程、状态方程 复域：传递函数、动态结构图 频域：频率特性 2-1 建立数学模型的一般方法 依据：电学中的基尔霍夫定律 2-3 动态结构图及等效变换 2-4 信号流图及梅逊公式 2、并联及等效 X(s) G2(s) G1(s) Y1(s) Y2(s) Y(S) G(s) X(s) Y(s) 3、反馈及等效 G(s) H(s) E(s) R(s) Y(s) R(s) Y(s) 四、等效移动规则 1、引出点的移动 G(S) G(S) X1 X2 X2 X2 X1 X2 G(S) 1）前移 G(S) X2 X1 X1 G(S) 1/G(S) X1 X2 X1 2）后移 在移动支路中串入所越过的传递函数的倒数方框 在移动支路中串入所越过的传递函数方框 2、综合点的移动 在移动支路中串入所越过的传递函数的倒数方框 在移动支路中串入所越过的传递函数方框 2）前移 x2 x3 x1 G(s) G(s) G(s) x1 x2 x3 1）后移 G(S) 1/G(S) X1 X2 X3 G(S) X1 X2 X3 - 相邻综合点之间可以随意调换位置 3）相邻综合点移动 x1 Y x2 x3 x1 Y x2 x3 注意：相邻引出点和综合点之间不能互换! 例：试简化系统结构图，并求系统传递函数。 方法1: 引出点后移 例：试简化系统结构图，并求系统传递函数。 例：试简化系统结构图，并求系统传递函数。 方法2: 引出点前移 x1 x4 x3 x2 a b c 1 一、信流图的基本概念 支路： 表示变量之间的传输关系。 节点： 表示系统中的变量。 信号流图是一种表示线性化代数方程组变量间关系的图示方法。信号流图由节点和支路组成 信流图的基本术语 1、源节点：只有输出支路，没有输入支路的节点称为源点，它对应于系统的输入信号，或称为输入节点。 2、汇节点：只有输入支路，没有输出支路的节点称为阱点，它对应于系统的输出信号，或称为输出节点。 3、混合节点：既有输入支点也有输出支点的节点称为混合节点。 输入节点 （源点） 输出节点 （汇点） 输入节点 （源点） 信流图的基本术语 4、通道：从某一节点开始沿支路箭头方向经过各相连支路到另一节点（或同一节点）构成的路径称为通道。 5、开通道：与任一节点相交不多于一次的通路称为开通道。 6、闭通道：如果通道的终点就是通道的起点，并且与任何其他节点相交不多于一次的称为闭通道或称为回环。 7、回环增益：回环中各支路传输的乘积称为回环增益。 8、前向通道：是指从源头开始并终止于汇点且与其他 节点相交不多于一次的通道，该通道的各传输乘积 称为前向通道增益。 9、不接触回环：如果一信号流图有多个回环，各回环之间没有任何公共节点，就称为不接触回环，反之称为接触回环 。 二、信流图的绘制 1、由结构图绘制信流图 结构图 综合点变成 混合节点 传递 变量 信流图 －1 2、由方程组绘制信流图 　　首先按照节点的次序绘出各节点，然后根据各方程式绘制各支路。当所有方程式的信号流图绘制完毕后，即得系统的信号流图。 三、梅逊（Mason）增益公式 例.设某系统的方框图如图所示，试求其传递函数 R(S) 1 1 G1 G3 G2 Y(S) G4 -1 -H1 -H2 Y G1 G2 G3 G4 - - - H1 H2 R 2－5 控制系统的传递函数 G1(S) G2(S) H(S) R(S) X1(S) X2(S) B(S) - Y(S) E(S) N(S) 一、系统的开环传递函数 定义为把主反馈通道断开，得到的传递函数 二、输入作用下系统的闭环传递函数 三、扰动作用下系统的闭环传递函数 四、系统的总输出 五、误差传递函数 输入作用下的误差传递函数 扰动作用下的误差传递函数 六、系统的总误差 了解建立微分方程的方法 掌握拉氏变换求解微分方程的方法 牢固掌握系统传递函数的定义 能熟练地进行动态结构图等效变换 能熟练运用梅逊公式求取系统传递函数 了解控制系统中各种传递函数的定义 本章小结 * 2-1 建立数学模型的一般方法 2-2 传递函数 2-3 动态结构图及等效变换 2-4 信号流图及梅逊公式 2-5 控制系统的传递函数 线性系统 传递函数 微分方程 频率特性 拉氏 变换 傅氏 变换 例1：如图所示的RLC电路，试建立以电容上电压uc(t)为输出变量，输入电压ur(t)为输入变量的运动方程。 R L C