31导数概念1027.ppt

两个问题的共性: 处的可导性. 此性质常用于判定分段函数在 分段点 如果 在开区间 内可导, 都存在, 1.几何意义 即 三、导数的几何意义 例 解 得切线斜率为 所求切线方程为 法线方程为 由导数的几何意义, 即 即 该点必连续. 证 定理 如果函数 则函数在 四、可导与连续的关系 在点x处可导, 即 函数极限与无穷小的关系 所以, * (Calculus) 导数与微分 引例 导数的定义 导数的几何意义 可导与连续的关系 第一节 导数的概念 第三章 导数与微分 小结 思考题 作业 例1 割线的极限位置—— 曲线的切线斜率问题 已知平面曲线 的切线 切线. 如何作过曲线上点 一、引例 1.切线问题 割线的极限位置——切线位置 播放 1.切线问题 割线的极限位置——切线位置 1.切线问题 割线的极限位置——切线位置 1.切线问题 割线的极限位置——切线位置 1.切线问题 割线的极限位置——切线位置 1.切线问题 割线的极限位置——切线位置 1.切线问题 割线的极限位置——切线位置 1.切线问题 割线的极限位置——切线位置 1.切线问题 割线的极限位置——切线位置 1.切线问题 割线的极限位置——切线位置 1.切线问题 割线的极限位置——切线位置 如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT, 点M处的切线. 如图, 割线MN的斜率为 切线MT的斜率为 C在 变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为 则 到 的平均速度为 而在 时刻的瞬时速度为 自由落体运动 例2 瞬时速度 切线斜率 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限. 类似问题还有: 加速度 角速度 是速度增量与时间增量之比的极限 是转角增量与时间增量之比的极限 变化率问题 边际成本、边际收益等问题 定义 二、导数的定义 存在, 如 若极限 或 记作 并称此极限值为 可导或导数不存在. 特别当(1)式的极限为无穷大时, 也称f (x)在x0处导数是无穷大. 注 导数定义的几种常见形式: 当极限(1)式不存在时, 则称函数 f (x)在x0处不 或 关于导数的说明 (1) 点导数是因变量在点x0处的变化率, 它反映了 因变量随自变量的变化而变化的快慢程度. (2) 如果函数y = f (x)在开区间 I 内的每点处都可 导,就称函数 f (x)在开区间 I 内可导. 注 记作 即 或 (3) 对于任一 都对应着 f (x)的一个确定的 导数值. 这个函数叫做原来函数f (x)的 导函数. ？ 例 用导数表示下列极限 解 解 例 解 用定义求导(几个基本初等函数的导数) 步 骤 即 例 解 即 同理可得 自己练习 例 解 更一般地 如 即 (以后将证明) 例 求函数 解: 更一般地 如 即 (以后将证明) 例 解 即 例 解 即 例 解 即 右导数 4. 单侧导数 左导数 如 在 x = 0 处有