第八讲导数的应用2012229.doc

第八讲 导数性质的应用 §4.3 函数的单调性 教学过程： 一、函数单调性的判定法 观察两个图形发现:在区间内，若曲线每一点切线斜率都是正值，即，曲线是上升的，即函数是单调增加的；若曲线每一点切线斜率都是负值，即，曲线是下降的，即函数是单调减少的.对于上升和下降曲线它的切线在个别点处可能是水平线（即导数）. 1.【定理4.3】设函数, (1)若, ,则在区间上（严格）单调增加； (2)若,则在区间上（严格）单调减少. 证明：(1) 且,显然 ，由拉格朗日中值定理知必, ， 又因,于是,所以. (2) 同理可证. 说明： 1）结论中的区间若函数在端点有意义，可将区间写为闭区间. 2）当条件（或）且等号仅在离散点成立，定理中的结论仍然成立. 3）若函数在给定的区间上连续，且除去有限个导数不存在的点外，导数存在且连续；则导数等于零的点或不存在的点可能是单调区间的分界点. 例1 （1）确定函数 的单调增减区间. 解：， 所以函数在 以及 上有，即函数单调增加； 函数在上有， 即函数单调减少.如图所示. 所以函数在，上单 调增；在上单调减. （2）确定函数 的单调 增减性. 解：，且只有在点 处有，所以函数在 定义域内单调增加. （3） 判定函数的单调性. 解：时函数无意义， 由于时，,其中 在上均单调下降.【】. 结论：函数单调的分界点为或不存在的点。寻找函数的单调区间的方法是：先找出函数的或不存在的点，用这些点将定义域分成有限个区间，再判断各个区间上的正负，即可下结论。 例2（1）讨论函数在上的单调性. 解：显然,且 ,, 使的点是离散的点， 于是,, 单调增加【】. （2） 讨论函数的单调性. 解：,令,得. (1) 因，, 在内单调减； (2) 因，, 在内但调增. （3） 讨论函数的单调性. 解：显然, ,. (1) ,, ； (2) ,, . （4） 确定函数的单调区间. 解：由于,且, 令, 得,.列表如下： - + + - - + + - + 故（1），, 在单调增加； （2），, 在单调减少； (3) ，, 在单调增加. 例3不等式的证明 （1）证明：当时, . 证明：令 , 显然 而 ，其中 于是 . 所以, 有 , 即 . （2） 求证：对成立. 证明：令，则， 当时，有 ， 当时，，单调递增，此时有 ，即； 当时，，单调递减，此时有 ，即； 综上所述对成立. 例4 求证 当时，. 提示：令 又令 结论. §4.4 函数的极值 教学过程： 一、函数的极值的定义 如图可知 以及均为函数的增减转折点.且是函数先增后减的转折点，称为的极大值点；是函数先减后增的转折点， 称为的极小值点. 【定义4.1】（极值） 极大值：若, ,称为 的一个极大值, 而称为 的极大值点； 2）极小值：若,,称为的一个极小值, 而称为的极小值点； 说明： 1)极大值和极小值统称为极值. 2)极值点：函数取极值的点. 3)极值的局部性:极大值与极小值是具有局部性的. 极大值为是[]上 的最大值,函数的 极大（极小）值 不一定是函数在 定义区间上的最大 （最小）值.如图 所示图示显示 极小值 比极大值大；图示还显示在极值点处如果曲线有切线，则切线一定与横轴平行. 二、函数极值存在的条件 1.【定理4.4】（极值存在的必要条件）设,且在点得取极值,则. 证明：不妨设为极小值， 则都有 当 时，； . 当时， 由 从而 . 类似方法可以证明为极大值时结论成立. 2. 驻点：若,称为的驻点. 极值点与驻点的关系：设,且是极值点，则一定是驻点；但驻点不一定是极值点. 例如1）是驻点但不是极值点． 2）是的极小值,但不是驻点． 3）是极值点，但不是驻点． 4）不是驻点，是导数不存在的点，但不是极值点. 结论：函数的极值点应该在函数不可导点与驻点中寻找. 3．【定理4.5】（极值存在的第一充分条件） 设，， ① 若时,若时, 则在点取得极大值； ②若时,若时 ，则在点取得极小值； ③若及时不变号，则在点处无极值. 证明：①由条件及单调性定理知, ,, 从而,其中,所以在点得取极大值. ②同理可证. ③ 因为在上恒有（或）， 故函数在点不可能取得极值. 4.计算极值点和极值的步骤： ①求出函数的定义域；②由驻点（的点）及不存在的点求得的全部可能极值点； ③考察的符号在上述所有点的左、右邻近的正负，确定函数值是极大值还是极小值点；④求出各极值点处的函数值，就得函数的全部极值． 例1 求函数的极值. 解：由于,且, 令, 得,.列表如下： + - + 由表知：函数的极大值为； 函数