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GARCH模型与波动性建模 第一节 ARCH模型的概念与性质 上证指数日收益率时序图（—） 从图中可以看出，上海和深圳股票市场的日收益率存在一段时间波动大另一段时间波动小的特性。波动是风险性表现形式，作为资本市场的参与者，他们都很关注整个市场以及各项资产的波动情况。例如，如果一位投资者计划在第t时期买入某项资产，持有一段时间后售出，则无条件方差（即方差的长期预测值）对他来讲就不重要了，他关心的是如何基于第t期之前的信息去判断未来一段时间内资产的波动性，即条件方差。 一、条件异方差问题 为了说明研究条件异方差的重要性，我们首先考察条件预测较之于无条件预测的优越性。假定已估计了平稳ARMA模型 在上述分析中，我们假定扰动项的方差为常定值。如前所述，实践表明，许多经济时间序列都存在变异聚集的特点，即具有条件异方差特性。为了提高条件预测的精度，就必需研究扰动项方差的变化特征。 采用上述策略的一个主要问题是，事先假定了可变方差是由一特定外生变量产生的。通常情况，人们并没有充分的理论依据来解释为什么选择某一个变量序列而不选择其它变量序列。例如，20世纪70年代西方国家全商品价格指数（WPI）剧烈波动，就很难说清楚究竟是石油价格的波动、实施货币政策的变化、还是布雷顿森林体系的崩溃所导致的。研究变量方差变异的另外一种途径就是借用时间序列建模的思想，对条件方差的动态变化特征进行建模。下面我们讨论ARCH模型。 二、 ARCH模型 ARCH模型的一般性定义如下。假设时间序列服从如下回归模型： 如果扰动项序列 满足 三、ARCH模型的性质 第二节 ARCH模型的估计与检验 一、ARCH模型的估计 估计ARCH模型的常用方法是极大似然方法。对于回归模型 假设前q组观测值已知，现利用t=1，2，…，T时的观测值进行估计。记 则 的条件密度函数为 其中 记 则 样本对数似然函数为： 所以， 令 =0 此方程可由数值计算方法求解，在实际应用中，可借助软件包进行计算。 现在打算预测。在已知t时期信息的情况下，的条件预测是： 如果用该条件均值预测，则预测误差的方差是： 相反，如果用无条件预测，则无条件预测值是序列的长期均值。无条件预测的误差方差是： 研究变量方差变异的一种途径是直接引入一个独立变量以帮助预测变量的变异度。例如，考虑如下的简单情形： 其中，为所关注的变量；为白噪声扰动项，其方差为；为第t期可观测的独立变量。 如果常数，则序列与白噪声类似，具有常定方差。然而，当序列的实现值各不相等时，在已知的观测值的情况下，的条件方差就为： 例如，如果满足 其中系数，为白噪声。则有： 其中系数可以保证的非负性。条件方差随过去值的变化而变化，在这种情况下，我们称服从具有线性参数形式的q阶自回归条件异方差模型ARCH（q）. 在实际应用中，为了简化描述的自回归条件异方差特征，可以对施加一些假定，设定其生成过程为某种特殊形式。一种简便的处理方法是假定： （1） 显然， 即，从而服从自回归条件异方差（ARCH（q））模型。 由于是白噪声且与相互独立，易证的每一项的均值为零且彼此间互不相关。而且， 所以，的无条件均值和方差不会受的生成过程的影响。类似地，容易推出的条件均值也为零。即： 基于其过去值，的条件方差为： 下面我们讨论，误差项的ARCH结构如何影响序列的变异特征。假定序列服从模型 误差项 服从形如 (1)的ARCH（1）模型。则的条件均值和条件方差分别由下面两式给出：