2010年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题及参考答案（高一年级）.docVIP

2010年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题及参考答案 （高一年级） 说明： 1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设分和0分两档；5分为一个档次请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次． 2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分．，则E的真子集的个数为 15 ． 2．已知函数的最大值为，则实数 5 ． 3．若，则使函数为奇函数的的个数为 3 ． 4．在△中，已知的平分线交AC于K．若BC=2，CK=1，，则△的面积为． 5．数列满足：，且．记的前项和为，则 89 ． 6．已知，，过作直线的垂线，垂足为．若，，，则 -2 ． 7．已知实数满足，，则的最小值为 12 ． 8．将总和为200的10个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小于58．所有满足上述要求的10个数中最大数的最大值为 26 ． 二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分） 9．已知二次函数的图象经过点，且不等式 对一切实数都成立． （1）求函数的解析式； （2）若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围． 解（1）由题设知，． ① 令，解得，由题意可得，即，所以，即． ② 由①、②可得． ……………………4分 又恒成立，即恒成立，所以，且，即，所以，从而． 因此函数的解析式为 ． ……………………8分 （2）由得， 整理得 ． 当即时，，此不等式对一切都成立的充要条件是，此不等式组无解． 当即时，，矛盾． ……………………12分 当即时，，此不等式对一切都成立的充要条件是，解得． 综合可知，实数的取值范围是． ……………………16分 10．已知数列中，，且 ． （1）求数列的通项公式； （2）求证：对一切，有． 解 （1）由已知，对有 ， 两边同除以n，得 ， 即 ， ……………………5分 于是，， 即 ， 所以 ，． 又时也成立，故． ……………………10分 （2）当，有 ，………………15分 所以时，有 又时， 故对一切，有． ……………………20分 11．设，求使为完全平方数的整数的值． 解 ． 所以，当时，是完全平方数． ……………………5分 下证没有其它整数满足要求． （1）当时，有， 又，所以， 从而． 又，所以此时不是完全平方数． ……………………10分 （2）当时，有．令， 则，即， 所以 ， 即 ． 解此不等式，得的整数值为，但它们对应的均不是完全平方数． 综上所述，使为完全平方数的整数的值为10. ……………………20分 第 1 页 共 4 页