2012全国高中数学联赛湖北省预赛试题高二答案.docVIP

2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案 （高二年级） 说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。 一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。） 1．函数的值域为． 2．已知，，则． 3．已知数列满足：为正整数， 如果，则 5 ． 4．设集合，是的子集，且满足，，那么满足条件的子集的个数为 185 ． 5．过原点的直线与椭圆：交于两点，是椭圆上异于的任一点．若直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为． 6．在△中，，．设是△的内心，若，则的值为． 7．在长方体中，已知，则长方体的体积最大时，为． 8．设表示不超过的最大整数，则 2012 ． 二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分） 9．已知正项数列满足且，，求的通项公式． 解 在已知等式两边同时除以，得， 所以 ． ------------------------------------------4分 令,则，即数列是以＝4为首项,4为公比的等比数列，所以. ------------------------------------------8分 所以,即 . ------------------------------------------12分 于是，当时, ， 因此, ------------------------------------------16分 10．已知正实数满足，且，求的取值范围． 解 令，，则 ．----------------------------------------5分 令 ，则 ，且．------------------------------10分 于是 ． ------------------------------15分 因为函数在上单调递减，所以． 又，所以． --------------------------------------20分 11．已知点为抛物线内一定点，过作斜率分别为的两条直线交抛物线于，且分别是线段的中点． （1）当且时，求△的面积的最小值； （2）若（为常数），证明：直线过定点． 解 所在直线的方程为，其中，代入中，得 ， 设，则有，从而 ． 则． 所在直线的方程为，其中，同理可得． ------------------------------------------5分 （1）当时，，，，，． 又，故，于是△的面积 ， 当且仅当时等号成立． 所以，△的面积的最小值为. ------------------------------------------10分 （2）， 所在直线的方程为， 即． ------------------------------------------15分 又，即，代入上式，得， 即 ． 当时，有，即为方程的一组解， 所以直线恒过定点． ------------------------------------------20分