2013考研数学高数公开课-定积分辅导讲义.docVIP

公开课二：定积分理论 一、实际应用背景 1、运动问题—设物体运动速度为，求上物体走过的路程。 （1）取，， 其中； （2）任取，； （3）取，则 2、曲边梯形的面积—设曲线，由及轴围成的区域称为曲边梯形，求其面积。 （1）取，， 其中； （2）任取，； （3）取，则。 二、定积分理论 （一）定积分的定义—设为上的有界函数， （1）取，， 其中； （2）任取，作； （3）取，若存在，称在上可积，极限称为在上的定积分，记，即。 【注解】 （1）极限与区间的划分及的取法无关。 【例题】当时，令，对， 情形一：取所有，则； 情形二：取所有，则， 所以极限不存在，于是在上不可积。 （2），反之不对。 分法：等分，即，； 取法：取或，则 。 则。 【例题1】求极限。 【解答】。 【例题2】求极限 【解答】。 三、定积分的普通性质 1、。 2、。 3、。 4、。 5、设，则。 【证明】， 因为，所以， 又因为，所以，于是，由极限保号性得 ，即。 （1）。 （2）设，则。 6（积分中值定理）设，则存在，使得。 四、定积分基本理论 定理1 设，令，则为的一个原函数，即。 【注解】 （1）连续函数一定存在原函数。 （2）， 。 （3）。 【例题1】设连续，且，求。 【解答】， ，。 【例题2】设为连续函数，且，求。 【解答】 ， 。 定理2 （牛顿—莱布尼兹公式）设，且为的一个原函数，则 。 【证明】由得， 从而， 于是，注意到， 所以，即。 五、定积分的积分法 （一）换元积分法—设，令，其中可导，且，其中，则。 （二）分部积分法—。 六、定积分的特殊性质 1、对称区间上函数的定积分性质 设，则 （1）则。 （2）若，则。 （3）若，则。 【例题1】设，其中为偶函数，证明： 。 【解答】 。 （2）计算。 【解答】， 因为， 所以，取得， 于是。 2、周期函数定积分性质 设以为周期，则 （1），其中为任意常数（周期函数的平移性质）。 如。 （2）。 3、特殊区间上三角函数定积分性质 （1）设，则，特别地， ，且。 【例题1】计算。 【解答】 。 【例题2】计算。 【解答】 。