实变函数论第三版习题选解.doc

1.证明集合关系式： （1）； （2）； （3）； （4）问成立的充要条件是什么？ 证 （1）∵，（对偶律）， （交对并的分配律）， ∴ . （2） . （3） . （4）. 证 必要性（左推右，用反证法）： 若，则但，从而，，于是； 但，从而左边不等式不成立，矛盾！ 充分性（右推左，显然）：事实上， ∵，∴，如图所示： 故. 2.设，试证一切排列 所成之集的势（基数）为. 证 记为所有排列所成之集，对任一排列，令，特别， ，， 即对每一排列对应于区间上的一个2进小数，则是一一对应（双射），从而集合与集合对等（即～），而对等的集合有相同的基数，故. 3.证明：整系数多项式的全体是可列的（可数的）. 证 对任一，次多项式对应于一个序列： ，而每个取自可数集，因此，全体次整系数多项式是有限个（个）可数集之并集，仍是可数的.故全体整系数多项式所构成的集合就是可数个可数集之并集，：它仍是可数的. 4.设表示区间上一切连续函数所成之集，试证它的势为. 证 首先，对任意实数，看作常值连续函数，， ∴ ，即 ； 另一方面，实数列全体之集的基数，为证 ，只需证与的一个子集对等即可.事实上，把中的有理数 排列成 .对任何，则由它在处的值所完全确定.这是因为中是稠密的，即对任何，存在上述有理数列的一个子列，由的连续性知： . 现在，作映射，，则是单射，而集是全体实数列的一个子集，故 ～，即 .综上可知：. 附注 ①若，，又：～，：～.则存在 ：～；假如，，的意义同前，问是否存在 到的一一对应？ 解 若，，令 则就是到的一一对应. 若，，则与之间不一定存在一一对应.例如： ， ，， 则是到的一一对应，是到的一一对应. 但，显然与之间不存在任何一一对应. ②几个常见的一一对应： （ⅰ）～，； ～，； （ⅱ）～，将中的有理数排列为，而中的有理数排列为.作其间的对应如下： 则是与间的一一对应. 注意 这种一定不是连续的（为什么？）. （ⅲ）～，. 这是因为任一自然数均可唯一表示为（非负整数，正奇数），而对非负整数，正奇数，又有唯一的使得. （ⅳ），则. 证 .； 设为的任一子集，为的特征函数，即 当均为的子集，时，.记 ，， 则～，.而，从而有，即. .. 对每一，有平面上一点集 （即的图形）与之对应.记 ，则～， . 为平面上一切点集全体的子集，而，从而有. 综合，立知 . 附注 此题提供了证明两个无限集对等的一般方法，这便是Cantor-Bernstein定理. 其特殊情况是：若，而～，则～（此结果更便于应用）. 5.试证任何点集的内点全体组成的集是开集. 证 设集的内点集为（称为的内部），下证为开集. ，由内点的定义，存在的邻域.现作集，则显然为开集，且.另一方面，对任意，存在，使得，所以，为的内点，即，也就是说.综上有为开集. 6.开映射是否连续？连续映射是否开？ 解 开映射未必连续.例：在每个区间上作Cantor三分集，且令，而，，则为开集.又设的构成区间为.（教材P21例1中的Cantor集即本题中的） 现在上定义函数 则在上映开集为开集，但并不连续.事实上，若开区间含于某个构成区间内，则就映为开区间； 若开区间中含有中的点，则就映为.然而中的每个点都是的不连续点. 又连续映射未必为开映射.例：在上连续，但开集的像为非开非闭. 7.设是Cantor集的补集中构成区间的中点所成的集，求. 解 .分以下三步： ①设Cantor集为，其补集（或叫余集）为，则. 考察中的点的三进制表示法，设 （）. 由Cantor集的构造知：当时，的小数点后任一位数字都不是1，因而可设 ； 当时，可设；特别，对于的构成区间的右端点有 ； 对于的构成区间的左端点有 . 由此可见，，且当时，有. ②下证Cantor集中的点都是的极限点： 对，由于，取，则. 由于与的小数点后前位小数相同，从而 ， 故当时，有，即， ∴，即 . ③下证，有.事实上，有两种情况： 10.若，则只能是的构成区间的中点，即.由Cantor集的构造知：对，都有 ，所以，； 20.若且，则，于是，，有，所以，. 故中的点不属于. 综上所述，我们有：中的点都是的极限点，不在中的点都不是的极限点，从而. 8.设点集列是有限区间中的非空渐缩闭集列（降列），试证. 证 用反证法：若，则，从而 为有界渐张开集列（升列），且覆盖，由数学分析中的“有限覆盖定理”（Borel）可知：存在子覆盖，使得，即 . ∴ ，从而，故，矛盾！ 附注 更一般地，