380-立体几何的向量方法 综合应用.ppt

* 立体几何的向量方法 ——综合应用 树兰学校：曹洪霞 成功来自坚持，执著创造奇迹 天才是1%的灵感加上99%的汗水 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (1)求证：PA//平面EDB (2)求证：PB⊥平面EFD (3)求二面角C-PB-D的大小。 A B C D P E F H 例 题 剖 析 小结1 小结2 小结3 A B C D P E F Y (2)（解法一）：如图所示建立空间直角坐标系D-XYZ, 设DC=1，则P(0,0,1),B(1,1,0),E(0,1/2,1/2) X Z 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (2)求证：PB⊥平面EFD Y 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (2)求证：PB⊥平面EFD (2)解法二：如图所示建立空间直角坐标系D-XYZ, 设DC=1，则P(0,0,1),B(1,1,0),E(0,1/2,1/2) A B C D P E F Z X Y D E F P X Z Y B C 又E(0,1/2,1/2) F（1/3,1/3,2/3） A B C D P E F X Z B C Y (3)求二面角C-PB-D的大小。 A B C D P E F X Y Z (3)求二面角C-PB-D的大小。 B C Y （其中由(2)知PB⊥平面EFD） 小 试 牛 刀 小结4 方法一： X Y Z X Y Z 方法二： a z x y F1 F2 F3 A C B O 500kg 如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为 ，在它的顶点处分别受力 、 、 ，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是 ，且 .这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多大时，才能提起这块钢板？ 合力 答案 F1 F3 F2 F1 F2 F3 A C B O 500kg F1 F3 F2 坐标系 1、立体几何中的向量方法的“三部曲”： 用空间向量 表示立体图 形中的点、 直线、平面 等元素 进行空间向量 的运算，研究点、 直线、平面之间 的关系以及它们 之间的距离和夹 角。 把运算结果 “翻译”成相 应的几何意 义。 2、解决立体几何问题常用方法： 综合法 向量法 坐标法 总结 l 求平面法向量的方法和步骤： （4）解方程组，另其中一个变量等于一个特殊值，再代入方程求出其它变量，即得一个法向量。 例1 l C D A B 例1 ①方向向量法 将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图（2），设二面角 的大小为 其中AB 三、二面角的平面角 将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。如图，向量 ， 则二面角 的大小 ＝〈 〉 若二面角 的大小为 , 则 ②法向量法 注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角.即“同进同出互补，一进一出相等” 或 三、二面角的平面角 “同进同出互补” 例1 四、异面直线成角 l m l m (1)定义:设a,b是两条异面直线,过空间任一点O作直线a ′∥a, b ′∥b,则a ′, b ′所夹的锐角或直角叫a与b所成的角. 练习 一、用向量解决如下问题： 1、平行和垂直 2、角度 二、向量的“数”和“形”运算 三、向量解决立体几何的“三部曲” 用空间向量 表示立体图 形中的点、 直线、平面 等元素 进行空间向量 的运算，研究点、 直线、平面之间 的关系以及它们 之间的距离和夹 角。 把运算结果 “翻译”成相 应的几何意 义。 *