415-第十章 定积分的应用.pptVIP

第十章 定积分的应用 §1 平面图形的面积 §2 由平行截面面积求体积 §3 平面曲线的弧长 §4 旋转曲面的面积 首页 × §1 平面图形的面积 一、直角坐标方程情形 二、参数方程情形 三、极坐标方程情形 首页 × 我们知道, 有些曲线用直角坐标方程表示 比较方便, 而另外一些曲线以参数方程或极坐 标方程给出更简单一些. 因此我们在三种情形 下分别讨论. 首页 × 一、直角坐标方程情形 由连续曲线 y = f (x) (≥0)，以及直线 x=a， x=b(a＜b）和 x 轴所围曲边梯形的面积为 首页 × 由连续曲线 y = f (x) (≤0)，以及直线 x=a， x=b 与 x 轴所围曲边梯形的面积为 形的面积为 A= . 由此，易知下述结论成立： (i)由上、下两条连续曲线 首页 × 如果 f (x)在[a，b]上不都是非负的，则所围图 与 以及两条直线x=a与y=b（a＜b） 所围的平面图形的面积计算公式为 A= (1) 注 当两条直线其中之一或两条缩为点时,仍可用公式(1). 例1 求由抛物线 与直线x－2y－3=0所围平面 图形的面积A. 解 先求出抛物线与直线的 交点P(1,－1)与Q(9,3). 用x=1把图形分为左、 首页 × 所以A=A1+A2= . y x O x=1 分别求得它们的面积为 右两部分,应用公式(1) (ii)设平面图形由左、右两条连续曲线ｘ＝g1 (y) ,ｘ＝g2 ( y ) 及上、下两条平行直线ｙ＝ｃ，ｙ＝ｄ(ｃ d)所围成, 其面积计算公式为 A= . 上面例1中也可把抛物线方程和直线方程改写成 x=y2=g1(y), x=2y+3= g2(y)，y∈[－1，3]. 并改取积分变量为y，便得 A = = 首页 × 注 一般平面图形都可以归结为以上（i）（ii）两种基本 图形，有些图形可能是以上两种基本图形的组合. 二、参数方程情形 设曲线C由参数方程 x=x（t），y=y（t），t ∈ [ , ]. (2) 给出，在 [ , ]上，y（t）连续，x（t）连续可微且 （对于y（t）连续可微且 的情形 可类似地讨论）.记 a=x( ) ， b=x( )( a b或b a)，则 由曲线C及直线x=a，x=b和x轴所围的图形，其面积 计算公式为 A= (3) 首页 × 解 摆线的一拱可取t∈[0,2 ].所求面积为 A= = 如果由参数方程（2）所表示的曲线是封闭的，即有 x（ ）=x ( ) , y( )=y( ). 且在 ( , )内曲线自身不再相交，那么由曲线自身所 围图形的面积为 A= (或 ). (4) 此公式可由公式(1)和(3)推出，绝对值内的积分， 其正、负由曲线(2)的旋转方向所确定. 例2求由摆线x=a(t－sint),y=a(1－cost)(a 0)的一 拱与x轴所围平面图形面积 . 首页 × 例3 求椭圆 所围的面积. 解 化椭圆为参数方程 x=acos t，y=bsin t，t∈[0，2 ]. 由公式(4)，求得椭圆所围面积为 A= =ab 显然，当a=b=r时，这就等于圆面积 首页 × 三、极坐标方程情形 设曲线C有极坐标方程 由曲线C与两条射线 所围成的平面图形， 通常也称为扇形. 首页 × 此扇形的面积计算公式为 A= . (5) 这仍可由定积分的基本思想而得，即通过“分割、 小扇形. (i)对区间[ , ]作任意分割T： 射线 = i（i=1，2，…，n－1）把扇形分成n个 首页 × 近似求和、取极限”三个步骤来得到. 这时，第i个小扇形的面积 于是 (iii)由定积分的定义和连续函数的可积性，当 (ii)由于r( )是连续的，因此当 很小时，在 每一个 上r( )的值变化也很小.任取 便有 i=1，2，…，n. →0时