[精品高中数学说课稿］平面向量数量积的物理背景及其含义.doc

《平面向量数量积的物理背景及其含义》教案 授课教师：宁夏银川唐徕回民中学 马海军 课题：§2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 教材：普通高中课程标准实验教科书（人教A版）数学必修4 一、教学目标 1、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义； 2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算； 3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。 二、教学重、难点 教学重点：1、平面向量数量积的含义与物理意义 2、性质与运算律及其应用 教学难点：1、平面向量数量积的概念 2、 平面向量数量积的运算律（2）、（3）的证明 三、教学过程 活动一：创设问题情景，引出新课 1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？ 期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。 2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？ 期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用 3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算： 平面向量数量积的物理背景及其含义 活动二：探究数量积的概念 1、给出有关材料并提出问题3： （1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S， 那么力F所做的功：W= |F| |S| cosα。 （2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空： ①W（功）是 量， ②F（力）是 量， ③S（位移）是 量， ④α是 。 （3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗? 期望学生回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积 2、明晰数量积的定义 数量积的定义： 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量 ︱︱·︱b︱cos叫做与的数量积（或内积），记作：·，即：·= ︱︱·︱︱cos （2）定义说明： ①记法“·”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。 ② “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。 3、提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？ 期望学生回答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数，这个数值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。 4、学生讨论，并完成下表： 的范围 0°≤90° =90° 0°≤180° ·的符号 5、研究数量积的几何意义 （1）给出向量投影的概念： 如图，我们把││cos（││cos） 叫做向量在方向上（在方向上）的投影， 记做：OB1=︱││︱cos （2）提出问题5：数量积的几何意义是什么？ 期望学生回答：数量积·等于的长度︱︱与在的方向上的投影 ︱︱cos 的乘积。 6、研究数量积的物理意义 （1） 请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积 。 （2）尝试练习：一物体质量是10千克，分别做以下运动：①、竖直下降10米；②、竖直向上提升10米；③、在水平面上位移为10米； ④、沿倾角为30度的斜面向上运动10米；分别求重力做功的大小。? 活动三：探究数量积的运算性质 1、提出问题6： （1）将尝试练习中的① ② ③的结论推广到一般向量，你能得到哪些结论？ （2）比较︱·︱与︱︱×︱︱的大小，你有什么结论？ 2、请证明上述结论。 3、明晰：数量积的性质 活动四：探究数量积的运算律 1、提出问题7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？ 预测：学生可能会提出以下猜想： ·= · （·）= (·) ③（ + ）· =· + · 2、分析猜想： 猜想①的正确性是显而易见的。 关于猜想②的正确性，请同学们先来讨论：猜测②的左右两边的结果各是什么？它们一定相等吗？ 期望学生回答：左边是与向量共线的向量，而右边则是与向量共线的向量，显然在向量与向量不共线的情况下猜测②是不正确的。 3、明晰：数量积的运算律： 4、学生活动：证明运算律2 在证明时，学生可能只考虑到λ0的情况,为了帮助学生完善证明，提出以下问题：当λ0时，向量与λ，与λ的方向的关系如何？此时，向量λ与及与λ的夹角与向量与的夹角相等吗？ 5、师生活动：证明运算律（3） 活动五：应用与提高 1、学生独立完成：已知︱︱=5,︱︱=4, 与的夹角θ=120°，求· 2、师生共同完成：已知︱︱=6，︱︱=4, 与的夹角为60°，求（+2 ）·（-3），并思考此运算过程类似于哪种实数运算？ 3、学生独立完成：对任意向量 ，b是否有以下结论： （1）(+)2=2+2·+