概率论与数理统计f.ppt

第二章 随机变量 随机变量 离散型随机变量 连续型随机变量 随机变量函数的分布 小结 本讲首先给出事件独立的概念、性质定理及利用独立性概念计算事件概率的实例；然后介绍了随机变量的基本概念与分类。 随机变量的分类 (通常分两大类)： 如“取到次品的个数”， “收到的呼叫数”等。 随机变量 离散型随机变量 连续型随机变量 所有取值可 以逐个列举 如：“电视机的使用寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等。 全部可能取值不仅有无 穷多，而且不能能一一 列举，充满某些区间。 这两种类型的随机变量因都是随机变量，自然会有许多相同或相似之处；但因其取值方式不同，故又有其各自的特点。 随机变量 连续型随机变量 离散型随机变量 学习时要注意它们各自的特点及描述方法。 * * 概率论与数理统计 第四讲 显然，有 P(A|B)=P(A). 这就是说：事件B发生，并不影响事件A发生的概率。这时，称事件A与B相互独立，简称独立。 一、 两事件的独立 A={第二次掷出6点}，B={第一次掷出6点}， 先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，设 §1.6 事件的独立性 由乘法公式知，当事件A与B独立时，有 P(AB)=P(A) P(B). 用 P(AB)=P(A) P(B) 刻画独立性，比用 P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B) 更好。 ◎ 不受 P(B)0 或 P(A)0 的制约； ◎ 反映了事件A与 B的对等性。 定义1：若两事件A, B满足 P(AB)= P(A) P(B), 则称 A与B 相互独立，或称 A, B 独立。 两事件独立的定义 例1： 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记 A={ 抽到K }, B={抽到黑色的牌}。 故, P(AB) = P(A)P(B). 解：由于 P(A) = 4/52 = 1/13, 这说明事件A, B独立。 问事件A, B是否独立？ P(AB) = 2/52 = 1/26。 P(B) = 26/52 = 1/2， 前面是根据两事件独立的定义得出A, B独立的结论，我们也可以通过计算条件概率的办法得到 A, B独立的结论。 续前例：从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记 A={ 抽到K }, B={抽到黑色的牌}。 在实际应用中, 往往根据问题的实际意义判断两事件是否独立 。 由于 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13， 故，P(A)= P(A|B)。 这也说明A, B独立。 如：一批产品共 n 件，从中抽取2件，设 Ai = {第 i 件是合格品}， i=1,2。 若抽取是有放回的, 则A1与A2独立。 其原因是：第二次抽取的结果受第一次抽取结果的影响。 其原因是: 第二次抽取的结果不受第一次抽取结果的影响。 若抽取是无放回的，则A1与A2不独立。 请问：如图的两个事件是否独立？ 即: 若A、B互斥，且P(A)0, P(B)0, 则 A与B不独立。 其逆否命题是：若A与B独立，且 P(A)0, P(B)0, 则 A与B一定不互斥。 而 P(A) ≠ 0, P(B) ≠0。 故 A与B不独立。 我们来计算： 因 P(AB)=0, P(AB) ≠ P(A)P(B)。 即 请问：能否在样本空间Ω中找到两个事件， 它们既相互独立又互斥? 所以，Φ与Ω独立且互斥。 不难发现: Φ(或Ω)与任何事件都独立。 答：能。 设A, B为互斥事件，且P(A)0, P(B)0, 下面四个结论中，正确的是： 前面我们看到独立与互斥的区别和联系，请看下列两个练习。 1. P(B|A)0， 2. P(A|B)=P(A)， 3. P(A|B)=0， 4. P(AB)=P(A)P(B)。 设A, B为独立事件，且P(A)0, P(B)0, 下面四个结论中，正确的是： 1. P(B|A)0， 2. P(A|B)=P(A)， 3. P(A|B)=0 ， 4. P(AB)=P(A)P(B)。 = P(A) － P(AB) P(A )= P(A－ A B) A与B独立 概率的性质 = P(A) － P(A) P(B) 证明: 仅证A与 独立。 定理1：若事件A, B独立，则